Nombre premier de Fibonacci

Un nombre premier de Fibonacci est un nombre de Fibonacci qui est de plus un nombre premier.

Primalité des nombres de Fibonacci

On ignore s'il existe une infinité de nombres de Fibonacci premiers. On sait que $F_n$ divise $F_{kn}$ (voir la propriété 6 dans le § « Propriétés » de l'article sur la suite de Fibonacci), et donc que, pour tout Modèle:Math, si $F_n$ est premier, alors Modèle:Math est premier, mais la réciproque est fausse ($F_{19}=4181=37\times 113$ est le premier contre-exemple non trivial). En Modèle:Date-, le plus grand nombre premier de Fibonacci connu est $F_{81839}$ et le plus grand nombre de Fibonacci probablement premier connu est $F_{2904353}$, qui a Modèle:Unité décimaux.

En 1964, Ronald Graham a donné une méthode pour construire des Modèle:Lien, c'est-à-dire des suites (TModèle:Ind) vérifiant en même temps les trois conditions suivantes :

• TModèle:Ind = TModèle:Ind + TModèle:Ind ;
• TModèle:Ind et TModèle:Ind sont premiers entre eux (ils n'ont aucun diviseur commun) ;
• aucun TModèle:Ind n'est premier.

Dans la suite qu'il proposait (Modèle:OEIS), les deux termes initiaux comportaient 34 chiffres décimaux. En affinant sa méthode, on a réussi à construire de telles suites avec deux termes initiaux plus petits :

• 17 chiffres : suite Modèle:OEIS2C (Donald Knuth, 1990) ;
• 17 et 16 chiffres : suite Modèle:OEIS2C (Herbert Wilf, 1990) ;
• 12 et 11 chiffres : suite Modèle:OEIS2C (John Nicol, 1999) ;
• 12 et 11 chiffres, mais plus petits (Maxim Vsemirnov, 2004).