Nombre tétraédrique centré

Un nombre tétraédrique centré est un nombre figuré polyédrique centré comptant des points répartis dans un tétraèdre par couches successives à partir du centre.

Avec $n$ points dans chaque arête du tétraèdre, le nombre tétraédrique centré (à faces non centrées) est donné par la formule Modèle:,:

$T{C}_n=\frac{1}{3}(2n-1)(n^2-n+3)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+3}{4})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{4})$.

Les premiers de ces nombres sont 1, 5, 15, 35, 69, 121, 195, 295, 425, 589, 791, ... (Modèle:OEIS).

Par exemple, $T{C}_2=5$ car il y a 4 points sur les sommets et 1 au centre du tétraèdre.

Obtention de ce nombre

Le tétraèdre ayant 4 faces, 6 arêtes et 4 sommets, la couche tétraédrique ajoutée à l'étape $n$ possède $4(P_{3,n}-3(n-1))$ points correspondants aux intérieurs des faces ( $P_{3,n}$ est le nombre triangulaire non centré avec $n$ points sur chaque côté), plus $6(n-2)$ points situés à l'intérieur des arêtes, plus 4 points situés aux sommets. On a donc $T{C}_n-T{C}_{n-1}=4(\frac{n^2+n}{2}-3(n-1))+6(n-2)+4=2((n-1{)}^2+1)$.

Partant de $T{C}_1=1$, on obtient $T{C}_n=1+2\sum _{k=2}^n((k-1{)}^2+1)=\frac{1}{3}(2n-1)(n^2-n+3)$.

Avec des faces centrées

Deuxième nombre tétraédrique centré à faces centrées $TC{\text{'}}_2=9$. Anaglyphe à regarder avec des lunettes rouge et cyan.

Si on ajoute à l'étape $n$ des faces centrées, il faut remplacer $4(P_{3,n}-3(n-1))$ par $4C_{3,n-1}$ où $C_{3,n-1}$ est le nombre triangulaire centré d'ordre $n-1$ et l'on obtient $TC{\text{'}}_n-TC{\text{'}}_{n-1}=4\left(\frac{3(n-1{)}^2-3(n-1)+2}{2}\right)+6(n-2)+4=2(3(n-1{)}^2+1)$.

Partant de $TC{\text{'}}_1=1$, on obtient $TC{\text{'}}_n=1+2\sum _{k=2}^n(3(k-1{)}^2+1)=(2n-1)(n^2-n+1)$.

Les premiers de ces nombres sont 1, 9, 35, 91, 189, 341, 559, 855, 1241, 1729, 2331, ... (Modèle:OEIS), qui sont aussi les nombres cubiques centrés (à faces non centrées).

Par exemple, $TC{\text{'}}_2=9$ car il y a 4 points sur les sommets, 4 au centre de chaque face et 1 au centre du tétraèdre.

Nombre pyramidal triangulaire centré ?

Bien que le tétraèdre soit un cas particulier de pyramide, les nombres tétraédriques centrés (dans les deux acceptions ci-dessus) ne sont pas égaux aux nombres pyramidaux triangulaires centrés, comptant des points répartis autour d'un axe et non du centre.

Ces derniers sont les sommes pour $i$ allant de 1 à $n$ des nombres triangulaires centrés $C_{3,i}$, de résultat : $P{C}_{3,n}=\frac{1}{2}n(n^2+1)$.