Nombre polyédrique centré

En mathématiques, un nombre polyédrique centré est un nombre figuré comptant comptant des points disposés dans un polyèdre par couches successives autour d'une droite centrale ou d'un centre.

Cas d'une pyramide : nombres pyramidaux centrés

Autour de l'axe de la pyramide

On dispose dans une pyramide à base $k$ -gonale une première couche de points k-gonale centrée d'ordre $n$ dans la base puis une couche d'ordre $n - 1$ , etc. jusqu'au sommet de la pyramide.

Le $n$ -ième nombre $k$ -pyramidal centré $P C_{k, n}$ est donc la somme des nombres $k$ -gonaux centrés $C_{k, i}$ pour $i$ allant de 1 à $n$ (en commençant par la pointe de la pyramide) : $P C_{k, n} = \sum_{i = 1}^{n} C_{k, i} = \sum_{i = 1}^{n} (1 + k \frac{i (i - 1)}{2}) = \frac{1}{6} n (k (n^{2} - 1) + 6)$ ^[1].

Exemples

Nombres pyramidaux triangulaires centrés : $P C_{3, n} = \frac{1}{2} n (n^{2} + 1)$ , Modèle:OEIS : 1, 5, 15, 34, 65, 111, 175, 260, 369, 505,...

Nombres pyramidaux carrés centrés : $P C_{4, n} = \frac{1}{3} n (2 n^{2} + 1)$ , Modèle:OEIS : 1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670,..., égaux aux nombres octaédriques.
Nombres pyramidaux pentagonaux centrés : $P C_{5, n} = \frac{1}{6} n (5 n^{2} + 1)$ , Modèle:OEIS :1, 7, 23, 54, 105, 181, 287, 428, 609,...

Nombres pyramidaux hexagonaux centrés : $P C_{6, n} = n^{3}$ , égaux aux nombres cubiques.
Nombres pyramidaux heptagonaux centrés : $P C_{7, n} = \frac{1}{6} n (7 n^{2} - 1)$ , Modèle:OEIS :1, 9, 31, 74, 145, 251, 399, 596,...
Nombres pyramidaux octogonaux centrés : $P C_{8, n} = \frac{1}{3} n (2 n - 1) (2 n + 1)$ , Modèle:OEIS : 1, 10, 35, 84, 165, 286, 455,...

Autour du centre de la pyramide

La pyramide ayant $k$ faces triangulaires,1 face $k$ -gonale, $k + 1$ sommets et $2 k$ arêtes, la couche pyramidale ajoutée à l'étape $n$ possède $k (P_{3, n} - 3 (n - 1)) + P_{k, n} - k (n - 1)$ points correspondants aux intérieurs des faces, plus $2 k (n - 1)$ points situés à l'intérieur des arêtes, plus $k + 1$ points situés aux sommets ; $P_{k, n} = \frac{n ((k - 2) n - (k - 4))}{2}$ est le nombre $k$ -gonal d'ordre $n$ .

On obtient $P C'_{k, n} - P C'_{k, n - 1} = (k - 1) (n - 1)^{2} + 2$ , d'où $P C'_{k, n} = 1 + \sum_{i = 1}^{n - 1} ((k - 1) i^{2} + 2) = \frac{(2 n - 1) ((k - 1) (n^{2} - n) + 6)}{6}$ ^[1].

Exemples

$k = 3$ : on obtient les nombres tétraédriques centrés : $P C'_{3, n} = T C_{n} = \frac{1}{3} (2 n - 1) (n^{2} - n + 3)$ .
$k = 4$ : $P C'_{4, n} = \frac{1}{2} (2 n - 1) (n^{2} - n + 2)$ , Modèle:OEIS : 1, 6, 20, 49, 99, 176, 286, 435, 629, 874,...
$k = 5$ : on obtient les nombres octaédriques centrés : $P C'_{5, n} = O C_{n} = \frac{1}{2} (2 n - 1) (n^{2} - n + 2)$ .
$k = 6$ : $P C'_{6, n} = \frac{1}{6} (2 n - 1) (5 n^{2} - 5 n + 6)$ , Modèle:OEIS : 1, 8, 30, 77, 159, 286, 468, 715, 1037, 1444,...
$k = 7$ : on obtient les nombres cubiques centrés : $P C'_{7, n} = C C_{n} = (2 n - 1) (n^{2} - n + 1)$ .
$k = 8$ : $P C'_{8, n} = \frac{1}{6} (2 n - 1) (7 n^{2} - 7 n + 6)$ : Modèle:OEIS : 1, 10, 40, 105, 219, 396, 650, 995, 1445, 2014,...

Cas d'un prisme : nombres prismatiques centrés

On dispose dans un prisme à base $k$ -gonale $n$ couches successives de points k-gonales centrées d'ordre $n$ .

Le $n$ -ième nombre $k$ -prismatique centré $P_{k, n}$ est donc le nombre $k$ -gonal centré $C_{k, i}$ multiplié par $n$ : $P_{k, n} = \frac{n}{2} (k n^{2} - k n + 2)$ ^[1].

Exemples

Nombres prismatiques triangulaires centrés : $P_{3, n} = \frac{n}{2} (3 n^{2} - 3 n + 2)$ , Modèle:OEIS : 1, 8, 30, 76, 155,...

Nombres prismatiques carrés centrés : $P_{4, n} = n (2 n^{2} - 2 n + 1)$ , Modèle:OEIS : 1, 10, 39, 100, 205, ....
Nombres prismatiques pentagonaux centrés : $P_{5, n} = \frac{n}{2} (5 n^{2} - 5 n + 2)$ , égaux aux nombres icosaédriques, Modèle:OEIS :1, 12, 48, 124, 255 ,...

Nombres prismatiques hexagonaux centrés : $P_{6, n} = n (3 n^{2} - 3 n + 1)$ , égaux aux nombres cubiques augmentés, Modèle:OEIS : 1, 14, 57, 148, 305, ....
Nombres prismatiques heptagonaux centrés : $P_{7, n} = \frac{n}{2} (7 n^{2} - 7 n + 2)$ , Modèle:OEIS :1, 16, 66, 172, 355, ...
Nombres prismatiques octogonaux centrés : $P_{8, n} = n (2 n - 1)^{2}$ , Modèle:OEIS : 1, 18, 75, 196, 405, ...

Cas d'un polyèdre régulier ou semi-régulier

Première méthode

Nous suivons ici la référence^[2] qui prend la convention de prendre $n = 0$ pour l'étape de départ (il y a donc $n + 1$ points dans chaque arête à l'étape $n$ ) ; dans cette référence, chaque face du polyèdre étant décomposée en triangles, on décompose le polyèdre en tétraèdres joignant un point central à ces triangles. Chaque tétraèdre est rempli de points à la façon des nombres tétraédriques, les points situés dans deux faces triangulaires contigües devant coïncider.

Si $C_{n}$ est le nombre de points dans la couche numérotée $n$ , $n ⩾ 1$ , le nombre polyédrique centré d'ordre $n$ est $P_{n} = 1 + C_{1} + \dots + C_{n}$ pour $n ⩾ 1$ , avec $P_{0} = 1$ ^[2].

On a $C_{n} = 2 (α n^{2} + 1)$ où $α = \frac{1}{4} (F_{3} + 2 F_{4} + 5 F_{5} + 6 F_{6} + 14 F_{8})$ , $F_{k}$ étant le nombre de faces k-gonales du polyèdre, d'où $P_{n} = (2 n + 1) \frac{(α n^{2} + α n + 3)}{3}$ ^[2].

Exemples

Nombre polyédrique centré	Nombre de faces	$C_{n}$	$P_{n}$	$P_{0}, \dots, P_{9}$	Rang OEIS
Nombre tétraédrique centré	$F_{3} = 4$	$2 (n^{2} + 1)$	$(2 n + 1) \frac{(n^{2} + n + 3)}{3}$	1, 5, 15, 35, 69, 121, 195, 295, 425, 589	Modèle:OEIS
Nombre cubique centré	$F_{4} = 6$	$2 (3 n^{2} + 1)$	$(2 n + 1) (n^{2} + n + 1) = n^{3} + (n + 1)^{3}$	1, 9, 35, 91, 189, 341, 559, 855, 1241, 1729	Modèle:OEIS
Nombre octaédrique centré	$F_{3} = 8$	$2 (2 n^{2} + 1)$	$(2 n + 1) \frac{(2 n^{2} + 2 n + 3)}{3}$	1, 7, 25, 63, 129, 231, 377, 575, 833, 1159	Modèle:OEIS
Nombre dodécaédrique centré Nombre octaédrique tronqué centré	${\begin{matrix} F_{5} = 12 \\ F_{4} = 6, F_{6} = 4 \end{matrix}$	$2 (15 n^{2} + 1)$	$(2 n + 1) (5 n^{2} + 5 n + 1)$	1, 33, 155, 427, 909, 1661, 2743, 4215, 6137, 8569	Modèle:OEIS
Nombre icosaédrique centré Nombre cuboctaédrique centré	${\begin{matrix} F_{3} = 20 \\ F_{3} = 8, F_{4} = 6 \end{matrix}$	$2 (5 n^{2} + 1)$	$(2 n + 1) \frac{(5 n^{2} + 5 n + 3)}{3}$	1, 13, 55, 147, 309, 561, 923, 1415, 2057, 2869	Modèle:OEIS
Nombre dodécaédrique rhombique centré^[3]	$F_{4} = 12$	$2 (6 n^{2} + 1)$	$(2 n + 1) (2 n^{2} + 2 n + 1) = (n + 1)^{4} - n^{4}$	1, 15, 65, 175, 369, 671, 1105, 1695, 2465, 3439, 4641	Modèle:OEIS
Nombre dodécaédrique rhombique de l'Abbé Haüy^[1]	construction exotique	$8 (6 n^{2} - 3 n + 1)$	$(2 n + 1) (8 n^{2} + 2 n + 1)$	1, 33, 185, 553, 1233, 2321, 3913, 6105	Modèle:OEIS
Nombre tétraédrique tronqué centré	$F_{3} = F_{6} = 4$	$2 (7 n^{2} + 1)$	$(2 n + 1) \frac{(7 n^{2} + 7 n + 3)}{3}$	1, 17, 75, 203, 429, 781, 1287, 1975	Modèle:OEIS
Nombre cubique tronqué centré	$F_{3} = 8, F_{8} = 6$	$2 (23 n^{2} + 1)$	$(2 n + 1) \frac{(23 n^{2} + 23 n + 3)}{3}$	1, 49, 235, 651, 1389, 2541, 4199, 6455, 9401

Deuxième méthode

Cas du nombre polyédrique centré à faces non centrées

Nous suivons ici la référence^[1], où le nombre de points par arête est égal à $n$ .

Le polyèdre possède $F_{k}$ faces de degré $k$ , S sommets et A arêtes, la couche polyédrique ajoutée à l'étape $n + 1$ possède $\sum_{k ⩾ 3} (P_{k, n + 1} - k n)$ points correspondants aux intérieurs des faces ( $P_{k, n + 1}$ est le nombre k-gonal avec $n + 1$ points sur chaque côté), plus $A (n - 1)$ points situés à l'intérieur des arêtes, plus S points situés aux sommets. On a donc $P_{n + 1} - P_{n} = \sum_{k ⩾ 3} F_{k} (\frac{(n + 1) ((k - 2) (n + 1) - (k - 4))}{2} - k n) + A (n - 1) + S$ , soit $P_{n + 1} - P_{n} = \frac{n - 1}{2} \sum_{k ⩾ 3} F_{k} ((k - 2) n - 2) + A (n - 1) + S$ .

Partant de $P_{1} = 1$ , on obtient $P_{n} = 1 + \sum_{i = 1}^{n - 1} (P_{i + 1} - P_{i})$ .

Par exemple, $P_{2} = S + 1$ (un point à chaque sommet et un point au centre).

Pour un polyèdre régulier à S sommets (vérifiant $k F_{k} = 2 A, A = F_{k} + S - 2$ ), on obtient : $P_{n} = \frac{(2 n - 1) ((S - 2) (n^{2} - n) + 6)}{6}$ .

Exemples

Nombre polyédrique centré	faces, arêtes, sommets, degré d	$P_{n + 1} - P_{n}$	$P_{n}$	$P_{1}, \dots, P_{10}$	Rang OEIS
Nombre tétraédrique centré	$F_{3} = S = 4, A = 6, d = 3$	$2 (n^{2} + 1)$	$\frac{1}{3} (2 n - 1) (n^{2} - n + 3)$	1, 5, 15, 35, 69, 121, 195, 295, 425, 589	Modèle:OEIS
Nombre cubique centré	$F_{4} = 6, A = 12, S = 8, d = 3$	$2 (3 n^{2} + 1)$	$(2 n - 1) (n^{2} - n + 1) = n^{3} + (n - 1)^{3}$	1, 9, 35, 91, 189, 341, 559, 855, 1241, 1729	Modèle:OEIS
Nombre octaédrique centré	$F_{3} = 8, A = 12, S = 6, d = 4$	$2 (2 n^{2} + 1)$	$\frac{1}{3} (2 n - 1) (2 n^{2} - 2 n + 3)$	1, 7, 25, 63, 129, 231, 377, 575, 833, 1159	Modèle:OEIS
Nombre dodécaédrique centré	$F_{5} = 12, A = 30, S = 20, d = 3$	$2 (9 n^{2} + 1)$	$(2 n - 1) (3 n^{2} - 3 n + 1)$	1, 21, 95, 259, 549, 1001, 1651, 2535, 3689, 5149 ...	Modèle:OEIS
Nombre icosaédrique centré	$F_{3} = 20, A = 30, S = 12, d = 5$	$2 (5 n^{2} + 1)$	$\frac{1}{3} (2 n - 1) (5 n^{2} - 5 n + 3)$	1, 13, 55, 147, 309, 561, 923, 1415, 2057, 2869	Modèle:OEIS
Nombre tétraédrique tronqué centré	$F_{3} = F_{6} = 4, A = 18, S = 12$	$2 (7 n^{2} + 1)$	$\frac{1}{3} (2 n - 1) (7 n^{2} - 7 n + 3)$	1, 17, 75, 203, 429, 781, 1287, 1975	Modèle:OEIS
Nombre cubique tronqué centré	$F_{3} = 8, F_{8} = 6, A = 36, S = 24$	$2 (23 n^{2} + 1)$	$\frac{1}{3} (2 n - 1) (23 n^{2} - 23 n + 3)$	1, 49, 235, 651, 1389, 2541, 4199, 6455, 9401
Nombre octaédrique tronqué centré	$F_{4} = 6, F_{6} = 8, A = 36, S = 24$	$2 (15 n^{2} + 1)$	$(2 n - 1) (5 n^{2} - 5 n + 1)$	1, 33, 155, 427, 909, 1661, 2743, 4215, 6137, 8569	Modèle:OEIS

Cas du nombre polyédrique centré à faces centrées

On remplace le nombre polygonal non centré par le nombre polygonal centré dans la formule ci-dessus.

Pour un polyèdre régulier ayant A arêtes, on obtient : $P'_{n} = \frac{(2 n - 1) (A (n^{2} - n) + 6)}{6}$ .

Par exemple, $P'_{2} = A + 3 = F + S + 1$ (un point à chaque sommet, un point au centre de chaque face et un point au centre).

Exemples

Nombre polyédrique centré à faces centrées	Nombre d'arêtes	$P'_{n}$	$P'_{1}, \dots, P'_{10}$	Rang OEIS
Nombre tétraédrique centré à faces centrées	$A = 6$	$(2 n - 1) (n^{2} - n + 1) = n^{3} + (n + 1)^{3}$	1, 9, 35, 91, 189, 341, 559, 855, 1241, 1729	Modèle:OEIS
Nombre cubique centré à faces centrées Nombre octaédrique centré à faces centrées	$A = 12$	$(2 n - 1) (2 n^{2} - 2 n + 1) = n^{4} - (n - 1)^{4}$	1, 15, 65, 175, 369, 671, 1105, 1695, 2465, 3439	Modèle:OEIS
Nombre dodécaédrique centré à faces centrées Nombre icosaédrique centré à faces centrées	$A = 30$	$(2 n - 1) (5 n^{2} - 5 n + 1)$	1, 33, 155, 427, 909, 1661, 2743, 4215, 6137, 8569	Modèle:OEIS

Références

Modèle:Références

Modèle:Palette Modèle:Portail

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 et ^1,4 Modèle:Ouvrage
↑ ^2,0 ^2,1 et ^2,2 Modèle:Article
↑ Modèle:Ouvrage

[:1-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 et ^1,4 Modèle:Ouvrage

[:0-2] 2,0 ^2,1 et ^2,2 Modèle:Article

[:2-3] Modèle:Ouvrage

[1]

[2]

[3]

Nombre polyédrique centré

Sommaire

Cas d'une pyramide : nombres pyramidaux centrés

Autour de l'axe de la pyramide

Exemples

Autour du centre de la pyramide

Exemples

Cas d'un prisme : nombres prismatiques centrés

Exemples

Cas d'un polyèdre régulier ou semi-régulier

Première méthode

Exemples

Deuxième méthode

Cas du nombre polyédrique centré à faces non centrées

Exemples

Cas du nombre polyédrique centré à faces centrées

Exemples

Références

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Nombre polyédrique centré

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Autour de l'axe de la pyramide

Exemples

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Exemples

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