Nombre polyédrique

En arithmétique géométrique, un nombre polyédrique est un nombre figuré comptant des points disposés régulièrement dans un polyèdre.

Exemple de réalisation d'un nombre 3-pyramidal, ou nombre tétraédrique.

Cas des pyramides

Le n-ième nombre k-pyramidal est la somme des nombres k-gonaux d'indices 1 à

$n$

 :

$P_n^{(k)}=\sum _{i=1}^n{P}_{k,i}=\frac{1}{6}n(n+1)((k-2)n-(k-5))$

Cas des polyèdres réguliers

Formules

Si l'on note $P_n$ le nombre de points à l'étape $n$ où il y a $n$ points dans chaque arête extérieure du polyèdre, on a les formules :

Nombre polyédrique	$P_n$	Les dix premiers nombres	Rang OEIS
Nombre tétraédrique	$\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$	1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220	Modèle:OEIS
Nombre cubique	$n^3$	1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000	Modèle:OEIS
Nombre octaédrique	$\frac{n(2n^2+1)}{3}$	1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670	Modèle:OEIS
Nombre dodécaédrique	$\frac{n(3n-1)(3n-2)}{2}$	1, 20, 84, 220, 455, 816, 1330, 2024, 2925, 4060	Modèle:OEIS
Nombre icosaédrique	$\frac{n(5n^2-5n+2)}{2}$	1, 12, 48, 124, 255, 456, 742, 1128, 1629, 2260	Modèle:OEIS

Principe d'obtention de ces formules

On considère un polyèdre régulier à S sommets, A arêtes, et F faces k-gonales et dont les sommets sont de degré d ({k,d} est le symbole de Schläfli) : Supposons que la figure de l'étape $n-1$ soit construite ; on obtient la figure de l'étape $n$ en ajoutantModèle:,Modèle:, :

• $S-1$ nouveaux points situés aux $S-1$ nouveaux sommets,

• $(n-2)(A-d)$ nouveaux points situés à l'intérieur des $A-d$ nouvelles arêtes,
• $(P_{k,n}-k(n-1))(F-d)$ nouveaux points situés à l'intérieur des $F-d$ nouvelles faces, $P_{k,n}$ étant le nombre le nombre k-gonal d'ordre $n$.

Si l'on note $P_n$ le nombre de points à l'étape $n$, on a donc $P_n-P_{n-1}=(S-1)+(A-d)(n-2)+(F-d)(P_{k,n}-k(n-1))$.

Partant de $P_0=0$, on obtient donc $P_n$ en écrivant $P_n=\sum _{k=1}^n(P_k-P_{k-1})$.

Avec les formules valables pour les 5 polyèdres réguliers, $S=\frac{4k}{D},A=\frac{2kd}{D},F=\frac{4d}{D}$, où $D=2(k+d)-kd$, on obtient $P_{n+1}-P_n=\frac{d(k-2{)}^2(d-2)}{2D}{n}^2+\frac{d(k-2)}{2}n+1$.

Cas des polyèdres réguliers tronqués

Si à chacun des S sommets de la construction précédente à l'étape $3n-2$ on ôte une pyramide à base d'ordre d à l'étape $n-1$, on obtient les nombres polyédriques réguliers tronqués : $P{T}_n=P_{3n-2}-S.P_{n-1}^{(d)}$ où $P_{n-1}^{(d)}$ est le nombre pyramidal d-gonal d'ordre $n-1$.

Nombre polyédrique tronqué	$P{T}_n$	Les 5 premiers nombres	Rang OEIS
Nombre tétraédrique tronqué	$\frac{n(23n^2-27n+10)}{6}$	1, 16, 68, 180, 375	Modèle:OEIS
Nombre cubique tronqué	$\frac{77n^3-162n^2+112n-24}{6}$	1, 56, 311, 920, 2037	Modèle:OEIS
Nombre octaédrique tronqué	$16n^3-33n^2+24n-6$	1, 38, 201, 586, 1289	Modèle:OEIS
Nombre dodécaédrique tronqué	$\frac{709n^3-1701n^2+1334n-336}{6}$	1, 200, 1250, 3860, 8739
Nombre icosaédrique tronqué	$\frac{123n^3-291n^2+234n-64}{2}$	1, 112, 670, 2044, 4603

Cas des polyèdres réguliers augmentés

Si à chacune des F faces de la construction des nombres polyédriques réguliers à l'étape $n$ on ajoute une pyramide à base d'ordre k à l'étape $n-1$, on obtient les nombres polyédriques réguliers augmentés: $P{A}_n=P_n+F.P_{n-1}^{(k)}$.

Par exemple, dans le cas de l'octaèdre, on obtient les nombres "stella octangula" :$S{O}_n=O_n+8P_{n-1}^{(3)}=\frac{n(2n^2+1)}{3}+\frac{4n(n^2-1)}{3}=n(2n^2-1)$, Modèle:OEIS.

Dans le cas du cube on obtient les nombres $n^3+6\frac{n(n-1)(2n-1)}{6}=n(3n^2-3n+1)$, égaux aux nombres prismatiques hexagonaux centrés, Modèle:OEIS.

Voir aussi

• Nombre polyédrique centré
• Nombre 4-polytopique