Nombre tétraédrique

Le Modèle:5e tétraédrique est 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 35.

En arithmétique géométrique, un nombre tétraédrique, ou nombre pyramidal triangulaire, est un nombre figuré qui peut être représenté graphiquement par une pyramide de base triangulaire, c'est-à-dire un tétraèdre, dont chaque couche représente un nombre triangulaire. Pour tout entier naturel $n$ non nul, le n-ième nombre pyramidal triangulaire, somme des $n$ premiers nombres triangulaires, est donné par les formules  :

$P_n^{(3)}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+2}{3}),$

où $(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})$ est le symbole du coefficient binomial. Les nombres tétraédriques sont donc ceux de la quatrième colonne du triangle de Pascal.

Les nombres tétraédriques sont ceux de la colonne d'indice 3 du triangle de Pascal

	0	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1
7	1	7	21	35	35	21	7	1
8	1	8	28	56	70	56	28	8	1

Les dix premiers sont 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165 et 220.

Le Modèle:22e est 2024.

Démonstration de la formule

Comme le k-ième nombre triangulaire est égal à $\frac{k(k+1)}{2}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+1}{2})$, on a, d'après la formule d'itération de Pascal :

$P_n^{(3)}=\sum _{k=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+1}{2})=\sum _{k=2}^{n+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{2})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+2}{3})=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$.

Ceci est en fait un cas particulier de la construction des nombres simpliciaux ; Le nombre tétraédrique $P_n^{(3)}$ est le n-ième nombre 3-simplicial $S_3(n)$.

On peut aussi obtenir $P_n^{(3)}$ à partir de la formule générale des nombres polyédriques réguliers $P_{n+1}^{(3)}-P_n^{(3)}=\frac{d(k-2{)}^2(d-2)}{2D}{n}^2+\frac{d(k-2)}{2}n+1$ où $k=d=3,D=2(k+d)-kd=3$, qui donne $P_{n+1}^{(3)}-P_n^{(3)}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$, puis $P_n^{(3)}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$.

Propriétés

La suite d'entiers $(P_n^{(3)})$, réduite modulo 2, est de période 4.

$P_n^{(3)}=\sum _{k=1}^{n}k(n+1-k)=1\times n+2\times (n-1)+\cdots +(n-1)\times 2+n\times 1$

Les seuls nombres tétraédriques carrés sontModèle:, PModèle:IndModèle:Exp = 1 = 1Modèle:2, PModèle:IndModèle:Exp = 4 = 2Modèle:2 et PModèle:IndModèle:Exp = 19 600 = 140Modèle:2.

Les seuls nombres tétraédriques triangulaires sont 1, 10, 120, 1540 et 7140 : Modèle:OEIS

Le seul nombre tétraédrique pyramidal carré estModèle:, 1.

Articles connexes

• Conjectures de Pollock
• Empilement compact