Nombre icosaédrique

Anaglyphe d'une construction de $I_3=48$ ; il y a 12 boules aux sommets, plus 30 boules aux milieux des arêtes, plus 6 boules supplémentaires pour le petit icosaèdre interne.

Un nombre icosaédrique est un nombre figuré polyédrique comptant des points régulièrement répartis dans un icosaèdre régulier. Le nombre icosaédrique d'ordre Modèle:Mvar, correspondant au cas où il y a Modèle:Mvar points sur chaque arête de l'icosaèdre, est donné par la formule :

$I_n=\frac{n(5n^2-5n+2)}{2}=n(5(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})+1)$Modèle:,Modèle:,.

Les premiers de ces nombres sont 1, 12, 48, 124, 255, 456, 742, 1128, 1629, 2260, 3036, 3972, 5083, ... ( Modèle:OEIS).

Obtention du nombre icosaédrique d'ordre n

Modèle:Article détaillé On obtient $I_n$ à partir de la relation : $I_n-I_{n-1}=(S-1)+(A-d)(n-2)+(F-d)(P_{k,n}-k(n-1))$,

où $S=12,A=30,F=20$ sont les nombres de sommets, arêtes et faces de l'icosaèdre, $\{k,d\}=\{3,5\}$ son symbole de Schläfli : {nombre d'arêtes par face, nombre d'arêtes (et aussi de faces) par sommet} et $P_{k,n}$ le nombre k-gonal d'ordre Modèle:Mvar .

On obtient donc $I_n-I_{n-1}=(12-1)+(30-5)(n-2)+(20-5)(n(n+1)/2-3(n-1))=\frac{15n^2-25n+12}{2}$.

D'où $I_n=\frac{1}{2}(15\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-25\frac{n(n+1)}{2}+12n)=\frac{n(5n^2-5n+2)}{2}$.

Voir aussi

• Nombre dodécaédrique
• Nombre icosaédrique centré