Nombre octaédrique

Un nombre octaédrique est un nombre figuré polyédrique comptant des points régulièrement répartis dans un octaèdre régulier, ou deux pyramides placées ensemble, l'une placée sur l'autre renversée.

Le nombre octaédrique d'ordre $n$ , correspondant au cas où il y a $n$ points sur chaque arête de l'octaédre, est donné par la formule :

$O_{n} = \frac{n (2 n^{2} + 1)}{3} .$ ^[1]Modèle:,^[2]Modèle:,^[3].

Les dix premiers nombres octaédriques sont :

1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670 (Modèle:OEIS).

La série génératrice des nombres octaédriques est la fraction rationnelle :

\frac{z (z + 1)^{2}}{(z - 1)^{4}} = \sum_{n = 1}^{\infty} O_{n} z^{n} = z + 6 z^{2} + 19 z^{3} + \dots .

Obtention du nombre octaédrique d'ordre n

Comme somme de deux nombres pyramidaux

OModèle:Ind peut être obtenu en ajoutant deux nombres pyramidaux carrés consécutifs : $O_{n} = \sum_{k = 1}^{n - 1} k^{2} + \sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{(n - 1) n (2 n - 1)}{6} + \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} = \frac{n (2 n^{2} + 1)}{3} .$

Par la construction générale des nombres polyédriques réguliers

Modèle:Article détaillé On obtient ici $O_{n}$ à partir de la relation : $O_{n} - O_{n - 1} = (S - 1) + (A - q) (n - 2) + (F - q) (P_{m, n} - m (n - 1))$ ,

où $S = 6, A = 12, F = 8$ sont les nombres de sommets, arêtes et faces de l'octaèdre, ${m, q} = {3, 4}$ son symbole de Schläfli : {nombre d'arêtes par face, nombre d'arêtes (et aussi de faces) par sommet} , et $P_{m, n}$ le nombre m-gonal d'ordre n ^[2].

On obtient donc $O_{n} - O_{n - 1} = (6 - 1) + (12 - 4) (n - 2) + (8 - 4) (n (n + 1) / 2 - 3 (n - 1)) = 2 n^{2} - 2 n + 1$ .

D'où $O_{n} = 2 \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} - 2 \frac{n (n + 1)}{2} + n = \frac{n (2 n^{2} + 1)}{3}$ .