Nombre 4-polytopique

En arithmétique géométrique, un nombre 4-polytopique, ou nombre 4-hyperpolyédrique, ou encore nombre polychorique, est un nombre figuré comptant des points disposés régulièrement dans un 4-polytope, ou polychore.

Cas des 4-polytopes réguliers

Formules

Si l'on note $P_n$ le nombre de points à l'étape $n$ où il y a $n$ points dans chaque arête extérieure du polytope, on a les formules :

Nombre 4-polytopique	$P_n$	Les dix premiers nombres	Rang OEIS
nombre pentachorique ou 4-hypertétraédrique	$\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{120}$	1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, 715	Modèle:OEIS
Nombre octachorique ou 4-hypercubique	$n^4$	1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000	Modèle:OEIS
Nombre hexadécachorique ou 4-hyperoctaédrique	$\frac{n^2(n^2+2)}{3}$	1, 8, 33, 96, 225, 456, 833, 1408, 2241, 3400	Modèle:OEIS
Nombre icositétrachorique ou hypergranatoédrique	$n^2(3n^2-4n+2)$	1, 24, 153, 544, 1425, 3096, 5929, 10368, 16929, 26200	Modèle:OEIS
Nombre hecatonicosachorique ou hyperdodécaédrique	$\frac{n(261n^3-504n^2+283n-38)}{2}$	1, 600, 4983, 19468, 53505, 119676, 233695, 414408, 683793, 1066960	Modèle:OEIS
Nombre hexacosichorique ou hypericosaédrique	$\frac{n(145n^3-280n^2+179n-38)}{6}$	1, 120, 947, 3652, 9985, 22276, 43435, 76952, 126897, 197920	Modèle:OEIS

Notons que $P_1$ est le nombre de sommets du polytope correspondant.

Principe d'obtention de ces formules

On considère un 4-polytope régulier à S sommets, A arêtes, F faces et C cellules et on note $d_A,d_F,d_C$ les nombres respectifs d'arêtes, de faces et de cellules adjacentes à un sommet donné : Supposons que la figure de l'étape $n-1$ soit construite ; on obtient la figure de l'étape $n$ en ajoutantModèle:, :

• $S-1$ nouveaux points situés aux $S-1$ nouveaux sommets,

• $(n-2)(A-d_A)$ nouveaux points situés à l'intérieur des $A-d_A$ nouvelles arêtes,
• $(P_{k,n}-k(n-1))(F-d_F)$ nouveaux points situés à l'intérieur des $F-d_F$ nouvelles faces k-gonales, $P_{k,n}$ étant le nombre k-gonal d'ordre $n$.
• $Q_n(C-d_C)$ nouveaux points situés à l'intérieur des $C-d_C$ nouvelles cellules, $Q_n$ étant le nombre polyédrique d'ordre $n$ associé aux cellules, auquel on retranche le nombre de points situés sur sa frontière.

Si l'on note $P_n$ le nombre de points à l'étape $n$, on a donc $P_n-P_{n-1}=(S-1)+(A-d_A)(n-2)+(F-d_F)(P_{k,n}-k(n-1))+(C-d_C)Q_n$.

Partant de $P_0=0$, on obtient donc $P_n$ en écrivant $P_n=\sum _{k=1}^n(P_k-P_{k-1})$.

Exemple pour le 4-hypercube

Pour le 4-hypercube, $S=16,A=32,F=24,C=8$, $d_A=4,d_F=6,d_S=4$ ; $k=4$ et $P_{4,n}=n^2$ ; enfin $Q_n=n^3-8-12(n-2)-6(n^2-4(n-1))$.

On obtient $P_n-P_{n-1}=4n^3-6n^2+4n-1=n^4-(n-1{)}^4$, ce qui donne bien $P_n=n^4$.

Voir aussi

• Nombre polyédrique
• Nombre 4-polytopique centré
• Nombre polytopique