Nombre 4-polytopique centré

En arithmétique géométrique, un nombre 4-polytopique centré, ou nombre 4-hyperpolyédrique centré, ou encore nombre polychorique centré, est un nombre figuré comptant des points disposés dans un 4-polytope, ou polychore, par couches successives autour du centre.

Cas des 4-polytopes réguliers

Formules

Si l'on note $P_n$ le nombre de points à l'étape $n$, où il y a $n$ points dans chaque arête extérieure du polytope, on a les formules :

Nombre 4-polytopique	$P_{n+1}-P_n$	$P_n$	$P_1,\cdots ,P_{10}$	Rang OEIS
Nombre pentachorique centré ou 4-hypertétraédrique centré	$\frac{5}{6}n(n^2+5)$	$\frac{5n^4-10n^3+55n^2-50n+24}{24}$$=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+4}{5})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{5})$	1, 6, 21, 56, 126, 251, 456, 771, 1231, 1876	Modèle:OEIS
Nombre octachorique centré ou 4-hypercubique centré	$8n(n^2+1)$$=(n+1{)}^4-(n-1{)}^4$	$n^4+(n-1{)}^4$	1, 17, 97, 337, 881, 1921, 3697, 6497, 10657, 16561	Modèle:OEIS
Nombre hexadécachorique centré ou 4-hyperoctaédrique centré	$\frac{8}{3}n(n^2+2)$	$\frac{2n^4-4n^3+10n^2-8n+3}{3}$	1, 9, 41, 129, 321, 681, 1289, 2241, 3649, 5641	Modèle:OEIS
Nombre icositétrachorique centré ou polyoctaédrique centré	$8n(2n^2+1)$	${(n^2+(n-1{)}^2)}^2$	1, 25, 169, 625, 1681, 3721, 7225, 12769, 21025, 32761	Modèle:OEIS
Nombre hecatonicosachorique ou hyperdodécaédrique centré	$60n(9n^2+1)$	$135n^4-270n^3+165n^2-30n+1$	1, 601, 5041, 19801, 54601, 122401, 239401, 425041, 702001, 1096201
Nombre hexacosichorique ou hypericosaédrique centré	$20n(5n^2+1)$	$(5n^2-5n+1{)}^2$	1, 121, 961, 3721, 10201, 22801, 44521, 78961, 130321, 203401

Notons que $P_1$ est le nombre de sommets du polytope correspondant, plus une unité.

Principe d'obtention de ces formules

On considère un 4-polytope régulier à $S$ sommets, $A$ arêtes, $F$ faces et $C$ cellules : Supposons que la figure de l'étape $n-1$ soit construite ; on obtient la figure de l'étape $n$ en ajoutantModèle:, :

• $S$ nouveaux points situés aux $S$ nouveaux sommets,

• $(n-2)A$ nouveaux points situés à l'intérieur des $A$ nouvelles arêtes,
• $(P_{k,n}-k(n-1))F$ nouveaux points situés à l'intérieur des $F$ nouvelles faces k-gonales, $P_{k,n}$ étant le nombre k-gonal d'ordre $n$,
• $C\times Q_n$ nouveaux points situés à l'intérieur des $C$ nouvelles cellules, $Q_n$ étant le nombre polyédrique d'ordre $n$ associé au cellules, auquel on retranche le nombre de points situés sur sa frontière.

Si l'on note $P_n$ le nombre de points à l'étape $n$, on a donc $P_n-P_{n-1}=(S-1)+A(n-2)+F(P_{k,n}-k(n-1))+C\times Q_n$.

Partant de $P_0=0$, on obtient donc $P_n$ en écrivant $P_n=1+\sum _{k=1}^n(P_k-P_{k-1})$.

Exemple pour le 4-hypercube

Pour le 4-hypercube, $S=16,A=32,F=24,C=8$ ; $k=4$ et $P_{4,n}=n^2$ ; enfin $Q_n=n^3-8-12(n-2)-6(n^2-4(n-1))$.

On obtient $P_n-P_{n-1}=8n^3-24n^2+32n-16=n^4-(n-2{)}^4$, ce qui donne bien $P_n=n^4+(n-1{)}^4$.

Voir aussi

• Nombre polyédrique centré
• Nombre 4-polytopique