Nombre pentachorique centré

Un nombre pentachorique centré ou nombre 4-hypertétraédrique centré est un nombre figuré comptant des points disposés dans un pentachore par couches successives autour du centre.

La formule générale est $P C_{n} = \frac{5 n^{4} - 10 n^{3} + 55 n^{2} - 50 n + 24}{24} = (\binom{n + 4}{5}) - (\binom{n - 1}{5})$ ^[1].

Les premiers de ces nombres sont : 1, 6, 21, 56, 126, 251, 456, 771, 1231, 1876, 2751, 3906, 5396, 7281, ... (Modèle:OEIS).

Obtention de la formule

En utilisant la formule $P C_{n} - P C_{n - 1} = (S - 1) + A (n - 2) + F (P_{k, n} - k (n - 1)) + C Q_{n}$ donnée dans l’article sur les nombres 4-polytopiques centrés, on a ici : $S = 5, A = 10, F = 10, C = 5$ ; $k = 3$ et $P_{3, n} = n (n + 1) / 2$ ; enfin $Q_{n} = n (n + 1) (n + 2) / 6 - 4 - 6 (n - 2) - 4 (n (n + 1) / 2 - 3 (n - 1))$ .

On obtient $P C_{n} - P C_{n - 1} = 5 (n - 1) ((n - 1)^{2} + 5)$ , ce qui donne bien $P C_{n} = \frac{5 n^{4} - 10 n^{3} + 55 n^{2} - 50 n + 24}{24}$ .