Nombre dodécaédrique centré

Un nombre dodécaédrique centré est un nombre figuré polyédrique centré comptant des points répartis dans un dodécaèdre régulier par couches successives à partir du centre. Il existe deux versions de ces nombres suivant que les faces sont centrées ou non.

Première version, faces centrées

Deuxième nombre dodécaédrique centré à faces centrées $D{C}_2=33$. Anaglyphe à regarder avec des lunettes rouge et cyan.

Avec $n$ points dans chaque arête du dodécaèdre, le nombre dodécaédrique centré (à faces centrées) est donné par la formule : 

$D{C}_n=(2n-1)(5n^2-5n+1)$

Il est égal au nombre icosaédrique centré (à faces centrées).

Les premiers de ces nombres sont 1, 33, 155, 427, 909, 1661, 2743, 4215, 6137, 8569, ... (Modèle:OEIS).

Par exemple, $D{C}_2=33$ car il y a 20 points sur les sommets, 12 aux centres des faces, et 1 au centre du polyèdre.

Obtention de ce nombre

Le dodécaèdre ayant 12 faces, 20 sommets et 30 arêtes, la couche dodécaédrique ajoutée à l'étape $n$ possède $12C_{5,n-1}$ points correspondants aux intérieurs des faces ( $C_{5,n-1}$ est le nombre pentagonal centré avec $n-1$ points sur chaque côté), plus $30(n-2)$ points situés à l'intérieur des arêtes, plus 20 points situés aux sommets. On a donc $D{C}_n-D{C}_{n-1}=12(5(n-1{)}^2-5(n-1)+2)+30(n-2)+20=2(15(n-1{)}^2+2)$.

Partant de $D{C}_1=1$, on obtient $D{C}_n=1+2\sum _{k=2}^{n-1}(15(k-1{)}^2+1)=(2n-1)(5n^2-5n+1)$.

Deuxième version, faces non centrées

Avec $n$ points dans chaque arête du dodécaèdre, le nombre dodécaédrique centré (à faces non centrées) est donné par la formule : 

$DC{\text{'}}_n=(2n-1)(3n^2-3n+1)$

Les premiers de ces nombres sont 1, 21, 95, 259, 549, 1001, 1651, 2535, 3689, 5149 ... (Modèle:OEIS).

Par exemple, $DC{\text{'}}_2=21$ car il y a 20 points sur les sommets, et 1 au centre du polyèdre.

Obtention de ce nombre

Le dodécaèdre ayant 12 faces, 20 sommets et 30 arêtes, la couche dodécaédrique ajoutée à l'étape $n$ possède $12(P_{5,n}-5(n-1))$ points correspondants aux intérieurs des faces ( $P_{5,n}$ est le nombre pentagonal non centré avec $n$ points sur chaque côté), plus $30(n-2)$ points situés à l'intérieur des arêtes, plus 20 points situés aux sommets. On a donc $DC{\text{'}}_n-DC{\text{'}}_{n-1}=12(\frac{3n^2-n}{2}-5(n-1))+30(n-2)+20=18n^2-36n+20=2(9(n-1{)}^2+1)$.

Partant de $D{C}_1=1$, on obtient $D{C}_n=1+2\sum _{k=2}^n(9(k-1{)}^2+1)=(2n-1)(3n^2-3n+1)$.

Voir aussi

• Nombre dodécaédrique (non centré)
• Nombre icosaédrique centré
• Nombre polyédrique centré