Noyau de Fejér

Définition

Tracé des noyaux de Fejér à différents ordres.

Le noyau de Fejér est la [[Suite de fonctions|suite Modèle:Math de fonctions]] analytiques dont le terme de rang n, appelé noyau de Fejér d'ordre n, est la moyenne arithmétique des n premiers noyaux de Dirichlet :

\forall x \in ℝ F_{n} (x) = \frac{1}{n} \sum_{k = 0}^{n - 1} D_{k} (x)

.

En développant la définition ci-dessus, les deux expressions classiques du noyau de Dirichlet donnent respectivement :

$F_{n} (x) = \frac{1}{n} {(\frac{\sin \frac{n x}{2}}{\sin \frac{x}{2}})}^{2}$ si $x \notin 2 π ℤ$ (donc, par continuité, Modèle:Math si Modèle:Math est un multiple entier de Modèle:Math) ;
$F_{n} (x) = \sum_{k = - n}^{n} (1 - \frac{| k |}{n}) e^{i k x}$ .

On obtient la somme de Fejér d'ordre n d'une fonction f (intégrable sur Modèle:Math et Modèle:Math-périodique) en effectuant un produit de convolution de f par le noyau de Dirichlet.

Le noyau de Fejér est un noyau de sommabilité positif sur $ℝ / 2 π ℤ$ , c'est-à-dire que :

$\forall n \in ℕ^{*} F_{n} \geq 0$ ;
$\forall n \in ℕ^{*} \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} F_{n} (x) d x = 1$ ;
$\forall ε > 0 \lim_{n \to \infty} \int_{π \geq | x | > ε} | F_{n} (x) | d x = 0$ .

La suite Modèle:Math est donc une approximation de l'unité de l'algèbre de Banach $L^{1} (ℝ / 2 π ℤ)$ (munie de produit de convolution).

Le noyau de Fejér est lié au noyau de Dirichlet par les relations suivantes^[2] :
- $\forall n \in ℕ^{*}, D_{n} (x) = (n + 1) F_{n + 1} (x) - n F_{n} (x)$
- $\forall n \in ℕ, F_{n + 1} (x) = \frac{1}{n + 1} \sum_{k = 0}^{n} D_{k} (x)$