Opérateur de Householder

Modèle:Orphelin En algèbre linéaire, l'opérateur de Householder est défini comme suit. Soit $V$un espace euclidien ou hermitien, avec un produit scalaire $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ et un vecteur unitaire noté $u\in V$. Alors l'opérateur de Householder

$H_u:V\to V$

est défini par

$H_u(x)=x-2⟨x,u⟩u$

Cet opérateur est une réflexion par rapport à l'hyperplan de vecteur normal $u$.

Il est également courant de choisir un vecteur non unitaire $q\in V$, et de le normaliser directement dans l'expression de l'opérateur Householder comme suit :

$H_q\left(x\right)=x-2\frac{⟨x,q⟩}{⟨q,q⟩}q$

Propriétés

L'opérateur de Householder vérifie les propriétés suivantes :

• il est linéaire ; si $V$ est un espace vectoriel sur un champ $K$, alors

$\mathrm{\forall }(\lambda ,\mu )\in K^2,\mathrm{\forall }(x,y)\in V^2,H_q(\lambda x+\mu y)=\lambda H_q\left(x\right)+\mu H_q\left(y\right)$

• il est autoadjoint
• si $K=ℝ$, alors il est orthogonal, et s $K=ℂ$ il est unitaire.

Cas particuliers

Sur un espace vectoriel réel ou complexe, l'opérateur de Householder est également connu sous le nom de transformation de Householder.