Opérateur hypoelliptique

En mathématiques, un opérateur différentiel défini sur un ouvert $U\subset {ℝ}^n$ est appelé opérateur hypoelliptique si pour toute distribution $u$ définie sur un ouvert $V\subset U$ telle que $Pu$ soit une fonction lisse, $u$ est nécessairement une fonction lisse également.

Si on remplace la condition d'être une fonction lisse par être une fonction analytique, on parle d'opérateurs hypoelliptiques analytiques.

Exemples et contre-exemples

• Tout opérateur elliptique à coefficients ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}$ est hypoelliptique. En particulier, le laplacien $\mathrm{\Delta }$, qui est elliptique, est hypoelliptique (c'est même un opérateur hypoelliptique analytique).
• L'opérateur de la chaleur ${\partial }_t-\mathrm{\Delta }$ (associé à l'équation de la chaleur) est hypoelliptique (mais pas elliptique).
• L'opérateur d'alembertien $\underset{tt}{\overset{2}{\partial }}-\mathrm{\Delta }$ (associé à l'équation des ondes) n'est pas hypoelliptique.

Références

• Lars Hörmander, "Hypoelliptic differential operators", Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 11 (1961): 477-492
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