Orbitographie

En astronautique, l'orbitographie désigne la détermination des éléments orbitaux d'un satellite artificiel.

Deux problèmes célèbres d'orbitographie sont :

le problème de Gauss qui consiste à déterminer l'orbite, puis le mouvement d'un corps, connaissant 3 positions successives, $P_{1}$ , $P_{2}$ et $P_{3}$ . C'est en retrouvant Cérès en 1801, à partir de données parcellaires recueillies en Modèle:Date-, que Gauss se fait connaître. Ce problème a donc été baptisé en son honneur.
le problème de Lambert qui consiste à déterminer le mouvement d'un corps connaissant deux ensembles successifs de positions et dates, { $P_{1}$ , $t_{1}$ } et { $P_{2}$ , $t_{2}$ }.

Problème de Gauss

Il peut aujourd'hui être traité avec les vecteurs, inventés par Gibbs vers 1890.

En désignant par $O$ le point d'où sont faites les observations, les 3 vecteurs $\vec{O P_{1}}$ , $\vec{O P_{2}}$ et $\vec{O P_{3}}$ définissent le plan de la trajectoire. Leur surabondance permet d'affiner cette définition par la méthode des moindres carrés. On peut alors définir le vecteur unitaire perpendiculaire à ce plan, $\vec{k}$ . Soit à trouver la direction du périgée, vecteur unitaire $\vec{i}$ ; la direction orthogonale $\vec{j}$ = $\vec{k} \times \vec{i}$ complète le trièdre.

Théorème 1 de Gibbs

Le vecteur de Gauss-Gibbs, $\vec{G}$ , défini par trois vecteurs de position, $\vec{r_{1}}, \vec{r_{2}}, \vec{r_{3}}$ , pointe vers la direction $\vec{j}$ (semi-petit axe) et peut donc s'écrire $‖ \vec{G} ‖ \vec{j}$ .

\begin{matrix} \vec{G} & = \vec{O P_{1}} (r_{2} - r_{3}) + \vec{O P_{2}} (r_{3} - r_{1}) + \vec{O P_{3}} (r_{1} - r_{2}) \\ = \vec{r_{1}} (r_{2} - r_{3}) + \vec{r_{2}} (r_{3} - r_{1}) + \vec{r_{3}} (r_{1} - r_{2}) \\ = ‖ \vec{G} ‖ \vec{j} \end{matrix}

.

Soient la demi-ellipse et sur elle, $P_{0}$ le périgée, $H$ le point de l'ellipse tel que $\vec{O H} ∥ \vec{j}$ , $B$ le point du petit axe, et $A$ l'apogée : on peut pour vérification, calculer les 4 vecteurs de Gibbs correspondant à 3 parmi 4 de ces positions. Cela permet d'acquérir de "l'intuition".

Le théorème de Gibbs permet donc d'accéder à l'angle $θ_{1}$ =( $\vec{O P_{0}}$ , $\vec{O P_{1}}$ ), ainsi que les deux autres. Soient 3 équations type $p = r_{1} + e \cdot r_{1} \cdot \cos (θ_{1})$ , qui permettent, par moindres carrés de trouver $p$ et $e$ ; ce qui achève la détermination de l'orbite. Il faut évidemment au moins une date pour finir le problème du mouvement.

Remarque : l'intuition de Gauss était que:

e = \frac{‖ G ‖}{2 \cdot A i r e T r i a n g l e (P 1 P 2 P 3)} = \frac{‖ G ‖}{‖ \vec{P_{1} P_{2}} \times \vec{P_{1} P_{3}} ‖}

.

Le théorème 2 de Gibbs permet de confirmer cette solution.

Seul le cas de 3 points se succédant sur une demi-ellipse est traité ; si le décalage temporel dépasse la demi-période, il convient de prendre en compte la disposition des points.

Démonstration

On appelle vecteur excentricité le vecteur $\vec{e} = \frac{\vec{C O}}{a}$ , $C$ étant le centre de l'ellipse. Ce vecteur est donc $\vec{e} = e \vec{i}$ .

On rappelle que c'est un invariant (SO4) du problème de Kepler :

\vec{e} = \frac{\vec{v} \times \vec{L_{0}}}{G M m} - \frac{\vec{r}}{r} = \frac{\vec{v} \times \vec{h}}{μ} - \frac{\vec{r}}{r}

,

(

L_{0}

étant le moment cinétique.

\vec{h} = \frac{\vec{L_{0}}}{m}, μ = G M

.)

et en particulier, comme vu plus haut : $p - r = \vec{e} \cdot \vec{r}$ .

Calculer $\vec{G} \cdot \vec{e}$ : il vient $(p - r_{1}) (r_{2} - r_{3}) + (p - r_{2}) (r_{3} - r_{1}) + (p - r_{3}) (r_{1} - r_{2}) = 0$ . Donc, $\vec{G}$ et $\vec{j}$ sont dans la même direction (demi-petit axe), an peut donc s'écrire : $\vec{G} = ‖ \vec{G} ‖ \vec{j}$ .

Théorème 2 de Gibbs

Soit le vecteur d'aire défini par les trois vecteurs de position :

\vec{A}

=

\vec{r_{1}} \times \vec{r_{2}} + \vec{r_{2}} \times \vec{r_{3}} + \vec{r_{3}} \times \vec{r_{1}} = ‖ \vec{A} ‖ \vec{k}

;

alors

\begin{matrix} \vec{A} \times \vec{e} = \vec{G} \end{matrix}

e =

\frac{‖ \vec{G} ‖}{‖ \vec{A} ‖}

.

Démonstration

Puisque les produits croisés avec $\vec{e}$ , en considérant que $\vec{e} \cdot \vec{r} = p - r$ , nous avons:

\begin{matrix} (\vec{r_{1}} \times \vec{r_{2}}) \times \vec{e} & = p (\vec{r_{2}} - \vec{r_{1}}) + r_{2} \vec{r_{1}} - r_{1} \vec{r_{2}} \\ (\vec{r_{2}} \times \vec{r_{3}}) \times \vec{e} & = p (\vec{r_{3}} - \vec{r_{2}}) + r_{3} \vec{r_{2}} - r_{2} \vec{r_{3}} \\ (\vec{r_{3}} \times \vec{r_{1}}) \times \vec{e} & = p (\vec{r_{1}} - \vec{r_{3}}) + r_{1} \vec{r_{3}} - r_{3} \vec{r_{1}} \end{matrix}

.

Par conséquent,

\begin{matrix} \vec{A} \times \vec{e} & = (r_{2} - r_{3}) \vec{r_{1}} + (r_{3} - r_{1}) \vec{r_{2}} + (r_{1} - r_{2}) \vec{r_{3}} \\ = \vec{G} \end{matrix}

Les vecteurs $\vec{r_{1}} \times \vec{r_{2}}, \vec{r_{2}} \times \vec{r_{3}}, \vec{r_{3}} \times \vec{r_{1}}$ et leur somme $\vec{A}$ sont perpendiculaires au plan orbital. Donc

\vec{A} \times \vec{e} = ‖ \vec{A} ‖ ‖ \vec{e} ‖ \sin (9 0^{\circ}) \vec{j} = ‖ \vec{A} ‖ e \vec{j}

e = \frac{‖ \vec{A} \times \vec{e} ‖}{‖ \vec{A} ‖} = \frac{‖ G ‖}{‖ \vec{A} ‖}

Théorème 3 de Gibbs

Soit enfin le vecteur-volume des aires pondérées :

\vec{V} = (\vec{r_{1}} \times \vec{r_{2}}) \cdot r_{3} + (\vec{r_{2}} \times \vec{r_{3}}) \cdot r_{1} + (\vec{r_{3}} \times \vec{r_{1}}) \cdot r_{2} = ‖ \vec{V} ‖ \vec{k}

.

Ensuite, le semi-latus rectum, $p$ , de l'orbite peut être dérivé des vecteurs $\vec{V}$ et $\vec{A}$ définis précédemment,

p = \frac{\vec{V}}{\vec{A}} = \frac{‖ \vec{V} ‖}{‖ \vec{A} ‖}

.

De plus, le moment cinétique spécifique, $h$ , du corps en orbite sera lié aux deux vecteurs par :

h = \sqrt{\frac{μ ‖ \vec{V} ‖}{‖ \vec{A} ‖}}

.

Démonstration

Les 3 vecteurs de position sont coplanaires. Ils peuvent donc s'écrire :

\begin{matrix} \vec{r_{1}} \times \vec{r_{2}} & = a_{12} \vec{k} \Rightarrow a_{12} = \vec{r_{1}} \times \vec{r_{2}} \cdot \vec{k} \\ \vec{r_{2}} \times \vec{r_{3}} & = a_{23} \vec{k} \Rightarrow a_{23} = \vec{r_{2}} \times \vec{r_{3}} \cdot \vec{k} \\ \vec{r_{3}} \times \vec{r_{1}} & = a_{31} \vec{k} \Rightarrow a_{31} = \vec{r_{3}} \times \vec{r_{1}} \cdot \vec{k} \end{matrix}

où $\vec{k}$ est le vecteur unitaire perpendiculaire au plan orbital

\vec{k} = \frac{\vec{r_{1}} \times \vec{r_{2}}}{‖ \vec{r_{1}} \times \vec{r_{2}} ‖} = \frac{\vec{r_{2}} \times \vec{r_{3}}}{‖ \vec{r_{2}} \times \vec{r_{3}} ‖} = \frac{\vec{r_{3}} \times \vec{r_{1}}}{‖ \vec{r_{3}} \times \vec{r_{1}} ‖}

.

On suppose en outre qu'il a la même direction que le vecteur moment cinétique.

Les trois vecteurs étant indépendants, il existe des coefficients $(λ_{1}, λ_{2}, λ_{3})$ tels que leur combinaison linéaire soit un vecteur nul.

λ_{1} \vec{r_{1}} + λ_{2} \vec{r_{2}} + λ_{3} \vec{r_{3}} = \vec{0}

.

En prenant le produit scalaire de cette équation avec $\vec{e}$ , et en considérant $\vec{e} \cdot \vec{r} = p - r$ , nous avons:

p (λ_{1} + λ_{2} + λ_{3}) = λ_{1} r_{1} + λ_{2} r_{2} + λ_{3} r_{3}

, et

p = \frac{λ_{1} r_{1} + λ_{2} r_{2} + λ_{3} r_{3}}{λ_{1} + λ_{2} + λ_{3}}

.

Si les produits croisés de l'équation ci-dessus avec $\vec{r_{1}}, \vec{r_{2}}, \vec{r_{3}}$ sont pris, respectivement. Nous avons:

λ_{1} \vec{r_{1}} \times \vec{r_{1}} + λ_{2} \vec{r_{2}} \times \vec{r_{1}} + λ_{3} \vec{r_{3}} \times \vec{r_{1}} = \vec{0}

λ_{1} \vec{r_{1}} \times \vec{r_{2}} + λ_{2} \vec{r_{2}} \times \vec{r_{2}} + λ_{3} \vec{r_{3}} \times \vec{r_{2}} = \vec{0}

λ_{1} \vec{r_{1}} \times \vec{r_{3}} + λ_{2} \vec{r_{2}} \times \vec{r_{3}} + λ_{3} \vec{r_{3}} \times \vec{r_{3}} = \vec{0}

,

et

\begin{matrix} - λ_{2} a_{12} + λ_{3} a_{31} & = 0 \\ + λ_{1} a_{12} - λ_{3} a_{23} & = 0 \\ - λ_{1} a_{31} + λ_{2} a_{23} & = 0 \end{matrix}

.

Ainsi, (avec une constante arbitraire k)

\begin{matrix} λ_{1} = k \cdot a_{23} = k \cdot \vec{r_{2}} \times \vec{r_{3}} \cdot \vec{u_{3}} \\ λ_{2} = k \cdot a_{31} = k \cdot \vec{r_{3}} \times \vec{r_{1}} \cdot \vec{u_{3}} \\ λ_{3} = k \cdot a_{12} = k \cdot \vec{r_{1}} \times \vec{r_{2}} \cdot \vec{u_{3}} \end{matrix}

.

Par conséquent,

\begin{matrix} p & = \frac{λ_{1} r_{1} + λ_{2} r_{2} + λ_{3} r_{3}}{λ_{1} + λ_{2} + λ_{3}} \\ = \frac{(\vec{r_{2}} \times \vec{r_{3}}) r_{1} + (\vec{r_{3}} \times \vec{r_{1}}) r_{2} + (\vec{r_{1}} \times \vec{r_{2}}) r_{3}}{(\vec{r_{2}} \times \vec{r_{3}}) + (\vec{r_{3}} \times \vec{r_{1}}) + (\vec{r_{1}} \times \vec{r_{2}})} \\ = \frac{\vec{V}}{\vec{A}} = \frac{\vec{‖ V ‖}}{\vec{‖ A ‖}} \end{matrix}

De plus, à partir des lois du mouvement de Newton et de l'équation de la trajectoire orbitale, on sait que :

p = \frac{h^{2}}{μ}

Par conséquent, grâce au pontage de $p$ , la relation entre $h$ et [ $\vec{A}, \vec{V}$ ] peut être facilement dérivée:

\begin{matrix} p & = \frac{\vec{V}}{\vec{A}} = \frac{‖ \vec{V} ‖}{‖ \vec{A} ‖} = \frac{h^{2}}{μ} \\ \Rightarrow h & = \sqrt{\frac{μ ‖ \vec{V} ‖}{‖ \vec{A} ‖}} \end{matrix}

Et on voit que les vecteurs auxiliaires, [ $\vec{A}, \vec{V}$ ], définis par les trois vecteurs de position observés, relient magiquement la propriété géométrique de l'orbite, $p$ , au paramètre dynamique du mouvement, $h$ .

Détermination du Vecteur Vitesse

On peut ensuite calculer le vecteur vitesse en chacun des 3 points via le vecteur-excentricité. L'astuce consiste à prendre le produit croisé de $\vec{k}$ et $\vec{k}$ , de sorte que l'expression du vecteur vitesse $\vec{v}$ puisse être révélée. Les étapes pour calculer le vecteur vitesse sont listées comme suit:

\begin{matrix} \vec{e} & = \frac{\vec{v} \times \vec{h}}{μ} - \frac{\vec{r}}{r} \\ \vec{k} \times \vec{e} & = \frac{\vec{k} \times (\vec{v} \times \vec{h})}{μ} - \vec{k} \times \frac{\vec{r}}{r} \\ = \frac{(\vec{k} \cdot \vec{h}) \vec{v} - (\vec{k} \cdot \vec{v}) \vec{h}}{μ} - \vec{k} \times \frac{\vec{r}}{r} \\ \vec{k} \times e \vec{i} & = \frac{(\vec{k} \cdot h \vec{k}) \vec{v}}{μ} - \vec{k} \times \frac{\vec{r}}{r} \\ e \vec{j} & = \frac{h \vec{v}}{μ} - \vec{k} \times \frac{\vec{r}}{r} \end{matrix}

.

En conséquence, nous avons l'équation suivante pour le vecteur de vitesse, en termes de paramètre gravitationnel et de vecteur de position:

\vec{v} = \frac{μ}{h} (e \vec{j} + \vec{k} \times \frac{\vec{r}}{r})

( $μ$ est le paramètre gravitationnel standard).

Selon les théorèmes précédents, nous avons,

e = \frac{‖ \vec{G} ‖}{‖ \vec{A} ‖}

,

et

h = \sqrt{\frac{μ ‖ \vec{V} ‖}{‖ \vec{A} ‖}}

Par conséquent,

\begin{matrix} \vec{v} & = \sqrt{\frac{μ ‖ \vec{A} ‖}{‖ \vec{V} ‖}} (\frac{‖ \vec{G} ‖}{‖ \vec{A} ‖} \vec{j} + \vec{k} \times \frac{\vec{r}}{r}) \\ = \sqrt{\frac{μ ‖ \vec{A} ‖}{‖ \vec{V} ‖}} (\frac{\vec{G}}{‖ \vec{A} ‖} + \frac{\vec{A}}{‖ \vec{A} ‖} \times \frac{\vec{r}}{r}) \\ = \sqrt{\frac{μ}{‖ \vec{V} ‖ ‖ \vec{A} ‖}} (\vec{G} + \vec{A} \times \frac{\vec{r}}{r}) \end{matrix}

.

Vecteur Vitesse à partir de Trois Vecteurs Position

En résumé, le vecteur vitesse $\vec{v}$ peut être exprimé en fonction des vecteurs $\vec{G}, \vec{A}, \vec{V}$ , définis par les trois vecteurs position observés, comme suit:

\vec{v} = \sqrt{\frac{μ}{‖ \vec{V} ‖ ‖ \vec{A} ‖}} (\vec{G} + \frac{\vec{A} \times \vec{r}}{r})

.

Une preuve alternative pour ce formulaire est décrite ici. L'astuce consiste à utiliser la relation $\vec{G} = \vec{A} \times \vec{e}$ et la relation entre $\vec{e}$ et $[\vec{v}, \vec{r}]$ pour trouver la relation fonctionnelle entre $[\vec{v}, \vec{r}]$ et $[\vec{G}, \vec{A}, \vec{V}]$ .

\begin{matrix} \vec{e} & = \frac{\vec{v} \times \vec{h}}{μ} - \frac{\vec{r}}{r} \\ \vec{A} \times \vec{e} & = \frac{\vec{A} \times (\vec{v} \times \vec{h})}{μ} - \vec{A} \times \frac{\vec{r}}{r} \\ = \frac{(\vec{A} \cdot \vec{h}) \vec{v} - (\vec{A} \cdot \vec{v}) \vec{h}}{μ} - \vec{A} \times \frac{\vec{r}}{r} \\ \vec{G} & = \frac{(\vec{A} \cdot h \vec{k}) \vec{v}}{μ} - \vec{A} \times \frac{\vec{r}}{r} \\ \vec{v} & = \frac{μ}{(\vec{A} \cdot h \vec{k})} (\vec{G} + \vec{A} \times \frac{\vec{r}}{r}) \end{matrix}

.

Par conséquent, le vecteur vitesse peut également être exprimé par:

\begin{matrix} \vec{v} & = \frac{μ}{‖ \vec{A} ‖ \cdot h} (\vec{G} + \vec{A} \times \frac{\vec{r}}{r}) \end{matrix}

.

Le théorème précédent montre que $h$ et $[\vec{V}, \vec{A}]$ sont liés par:

h = \sqrt{\frac{μ ‖ \vec{V} ‖}{‖ \vec{A} ‖}}

Enfin, à travers les trois vecteurs auxiliaires $\vec{G}, \vec{A}, \vec{V}$ , définis par les trois vecteurs position, le vecteur vitesse peut s'exprimer en fonction des vecteurs position:

\begin{matrix} \vec{v} & = \frac{μ}{‖ \vec{A} ‖ \cdot h} (\vec{G} + \vec{A} \times \frac{\vec{r}}{r}) \\ = \frac{μ}{‖ \vec{A} ‖} \sqrt{\frac{‖ \vec{A} ‖}{μ ‖ \vec{V} ‖}} (\vec{G} + \vec{A} \times \frac{\vec{r}}{r}) \\ \vec{v} & = \sqrt{\frac{μ}{‖ \vec{A} ‖ ‖ V ‖}} (\vec{G} + \vec{A} \times \frac{\vec{r}}{r}) . \end{matrix}

Problème de Lambert

Travail en 1760 : déterminer le mouvement connaissant deux évènements.

Plummer (An introductory treatise on dynamical astronomy , 1960, ed Dover) donne la solution analytique de ce problème. Pollard (Celestial Mechanics, 1966, ed Prentice-Hall) y fait référence. Guiziou ([1]) propose l'élégante solution suivante : se ramener au problème de Gauss.

Plus précisément, soit $P_{1}$ et $P_{3}$ les 2 points. On définit le point $P_{2}$ par : $\vec{O P_{2}} = k (\vec{O P_{1}} + \vec{O P_{3}})$ , avec $k$ pour le moment indéterminé. On est ainsi ramené au problème de Gauss-Gibbs. Il n'y a qu'un seul $k$ qui donne une durée $t_{3} - t_{1}$ pour décrire l'arc d'ellipse de $P_{1}$ en $P_{3}$ : on résout numériquement l'équation $t_{3} - t_{1} = f (k)$ ce qui donne $k$ et achève le problème.

Référence

Droit français : arrêté du Modèle:Date- relatif à la terminologie des sciences et techniques spatiales.

Voir aussi

Modèle:Portail.

Orbitographie

Sommaire

Problème de Gauss

Théorème 1 de Gibbs

Démonstration

Théorème 2 de Gibbs

Démonstration

Théorème 3 de Gibbs

Démonstration

Détermination du Vecteur Vitesse

Vecteur Vitesse à partir de Trois Vecteurs Position

Problème de Lambert

Référence

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