P0-matrice

En mathématiques, une P0-matrice est une matrice carrée réelle dont les mineurs principaux sont positifs. Ces matrices interviennent dans l'étude des problèmes de complémentarité linéaire. Une notion voisine est celle des P-matrices.

Définition

On note ci-dessous $M_{I,J}$ la sous-matrice de $M$ formée de ses éléments avec indices de ligne dans $I$ et indices de colonne dans $J.$

Le nom de ces matrices a été proposé par Fiedler et Pták (1966), qui ont aussi montré l'équivalence entre les définitions 1 et 2. L'expression 4 de la P0-matricité est due à Chen et Harker (1993).

Propriétés immédiates

De la définition 1, on déduit que

• $M\in {𝐏}_{\mathrm{𝟎}}$ si et seulement si $M^{\mathrm{\top }}\in {𝐏}_{\mathrm{𝟎}}$,
• Si $M$ est symétrique, alors $M\in {𝐏}_{\mathrm{𝟎}}$ si et seulement si $M$ est semi-définie positive,
• ${𝐏}_{\mathrm{𝟎}}\cap {ℝ}^{n\times n}$ est un fermé de ${ℝ}^{n\times n}$,
• si $M+M^{\mathrm{\top }}$ est semi-définie positive, alors $M\in {𝐏}_{\mathrm{𝟎}}.$

Complexité

Vérifier qu'une matrice donnée dans ${\mathbb{Q}}^{n\times n}$ est une P0-matrice est un problème co-NP-complet.

Annexes

Articles connexes

• Complémentarité linéaire
• P-matrice

Ouvrages généraux

• Modèle:En R. W. Cottle, J.-S. Pang, R. E. Stone (2009). The linear complementarity problem. Classics in Applied Mathematics 60. SIAM, Philadelphia, PA, USA.
• Modèle:En R. A. Horn, Ch. R. Jonhson (1991). Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, New York, NY, USA.