Paradoxe de Borel

Modèle:Voir homonymes Le paradoxe de Borel (parfois appelé le paradoxe de Borel-Kolmogorov) est un paradoxe de la théorie des probabilités en rapport avec les probabilités conditionnelles et les densités de probabilité.

Supposons que nous ayons deux variables aléatoires, X et Y, de densité de probabilité conjointe p_X,Y(x,y). Nous pouvons former la densité conditionnelle de Y sachant X,

$p_{Y|X}(y|x)=\frac{p_{X,Y}(x,y)}{p_X(x)}$

où p_X(x) est la loi marginale appropriée.

En utilisant le théorème du changement de variable, nous pouvons paramétrer la loi conjointe avec les fonctions U= f(X,Y), V = g(X,Y), et pouvons alors former la densité conditionnelle de V sachant U.

$p_{V|U}(v|u)=\frac{p_{V,U}(u,v)}{p_U(u)}$

Étant donné une condition particulière sur X et la condition équivalente sur U, l’intuition nous suggère que les densités conditionnelles p_Y|X(y|x) et p_V|U(v|u) devraient être identiques. Ce n’est pas le cas en général.

Un exemple concret

Une loi uniforme

Soit la densité de probabilité conjointe

$p_{X,Y}(x,y)=\{\begin{array}{cc}1,& 0<y<1,-y<x<1-y\\ 0,& \text{sinon}\end{array}$

La densité marginale de X se calcule

$p_X(x)=\{\begin{array}{cc}1+x,& -1<x\le 0\\ 1-x,& 0<x<1\\ 0,& \text{sinon}\end{array}$

Ainsi la densité conditionnelle de Y sachant X est

$p_{Y|X}(y|x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{1+x},& -1<x\le 0,-x<y<1\\ \\ \frac{1}{1-x},& 0<x<1,0<y<1-x\\ \\ 0,& \text{sinon}\end{array}$

qui est uniforme suivant y.

Nouveau paramétrage

Maintenant, appliquons la transformation suivante :

$U=\frac{X}{Y}+1V=Y.$

En utilisant le théorème du changement de variable, nous obtenons

$p_{U,V}(u,v)=\{\begin{array}{cc}v,& 0<v<1,0<u\cdot v<1\\ 0,& \text{sinon}\end{array}$

La distribution marginale se calcule et est égale à

$p_U(u)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2},& 0<u\le 1\\ \\ \frac{1}{2u^2},& 1<u<+\mathrm{\infty }\\ \\ 0,& \text{sinon}\end{array}$

Ainsi la densité conditionnelle de V sachant U est

$p_{V|U}(v|u)=\{\begin{array}{cc}2v,& 0<u\le 1,0<v<1\\ 2u^{2}v,& 1<u<+\mathrm{\infty },0<v<\frac{1}{u}\\ 0,& \text{sinon}\end{array}$

qui n’est pas uniforme suivant v.

Le résultat non intuitif

D'après ce qui précède, nous avons

$p_{Y|X}(y|x=0)=\{\begin{array}{cc}1,& 0<y<1\\ 0,& \text{sinon}\end{array}$

La condition équivalente dans le système de coordonnées u-v est U = 1, et la densité conditionnelle de V sachant U = 1 est

$p_{V|U}(v|u=1)=\{\begin{array}{cc}2v,& 0<v<1\\ 0,& \text{sinon}\end{array}$

Paradoxalement, V = Y et X = 0 est identique à U = 1, mais

$p_{Y|X}(y|x=0)\ne p_{V|U}(v|u=1).$

Voir aussi

• Émile Borel
• Andreï Kolmogorov