Paradoxe de Landé

Le "paradoxe" de Landé fut proposé par Landé pour affirmer que la relation de De Broglie n'est pas une équation covariante de Galilée. La solution à ce paradoxe de la dualité onde-particule se trouve en le caractère projectif des représentations en mécanique quantique non-relativiste.

Le paradoxe

La relation de De Broglie est :

$p=\frac{h}{\lambda }$.

Classiquement, pour une particule de masse $m$, la quantité de mouvement $p$ et la longueur d'onde $\lambda$ se transforment de la façon suivante sous une transformation de Galilée :

$\{\begin{array}{c}p\to p+mv=p^{\prime }\\ \lambda \to \lambda ={\lambda }^{\prime }\end{array}$

En effet, une onde classique, de fréquence $\nu$, est représentée par

$f(x,t)=\alpha \sin \left[2\pi (\frac{x}{\lambda }-\nu t)\right]$.

Et alors, sous une transformation de Galilée pure :

$\{\begin{array}{c}x\to x+vt=x^{\prime }\\ t\to t=t^{\prime }\end{array}$

l'onde classique respecte

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(x^{\prime },t^{\prime })& =f(x,t)\\ & =\alpha \sin \left[2\pi (\frac{x^{\prime }-v{t}^{\prime }}{\lambda }-\nu t^{\prime })\right]\\ & =\alpha \sin \left[2\pi (\frac{x^{\prime }}{\lambda }-(\nu +\frac{v}{\lambda })t^{\prime })\right]\end{array}$

c'est-à-dire que la longueur d'onde se transforme de la façon mentionnée ci-haut (${\lambda }^{\prime }=\lambda$) , et la fréquence ${\nu }^{\prime }=\nu +\frac{v}{\lambda }$(c'est l'effet Doppler non-relativiste).

Le problème est le suivant : L'imposition de la covariance de la théorie implique qu'on doit avoir, en particulier :

$p^{\prime }=\frac{h}{{\lambda }^{\prime }}\Rightarrow p+mv=\frac{h}{\lambda }$

ce qui n'est bien sûr pas respecté pour toute transformation de Galilée non triviale (avec $v\ne 0$).

Solution au "paradoxe"

L'erreur était de supposer que $f^{\prime }(x^{\prime },t^{\prime })=f(x,t)$. Ceci est vrai pour une onde classique, mais ne tient plus dans un cadre quantique. En effet, les représentations en mécanique quantique non-relativiste (covariante de Galilée) sont des représentations projectives. Elles obéissent donc à l'équation suivante :

${\psi }^{\prime }(x^{\prime },t^{\prime })=\exp \left[\frac{2\pi i}{h}m(\frac{1}{2}{v}^{2}t+vx)\right]\psi (x,t)$

Pour une onde générale normalisée, $\psi (x,t)=\exp \left[2\pi i(\frac{x}{\lambda }-\nu t)\right]$ :

$\begin{array}{cc}{\psi }^{\prime }(x^{\prime },t^{\prime })& =\exp [2\pi ix(\frac{1}{\lambda }+\frac{mv}{h})-2\pi it(\nu -\frac{1}{2}\frac{m{v}^2}{h})]\\ & =\exp [2\pi i(x^{\prime }-vt)(\frac{1}{\lambda }+\frac{mv}{h})-2\pi i{t}^{\prime }(\nu -\frac{1}{2}\frac{m{v}^2}{h})]\\ & =\exp \left[2\pi i(\frac{x^{\prime }}{{\lambda }^{\prime }}-{\nu }^{\prime }{t}^{\prime })\right],\\ & \text{o}\stackrel{`}{\text{u}}{\lambda }^{\prime }={(\frac{1}{\lambda }+\frac{mv}{h})}^{-1},{\nu }^{\prime }=\nu +\frac{v}{\lambda }+\frac{m{v}^2}{2h}\end{array}$

Et ainsi, on comprend qu'une onde en mécanique quantique, contrairement à une onde classique, voit sa fréquence et sa longueur d'onde modifiées sous une transformation de Galilée pure.

Il n'y a donc pas de vrai paradoxe.

Liens externes

• Modèle:Article