Parapluie de Whitney

Illustration du parapluie de Whitney.

La construction du parapluie de Whitney en tant que surface réglée.

Le parapluie de Whitney est une surface présentant des auto-intersections dans l'espace ambiant de dimension 3. Elle doit son nom au mathématicien américain Hassler Whitney, qui a étudié cet objet au travers de ses travaux sur les singularités d'applications différentiables.

Formules

Les équations paramétriques de cette surface sont données en coordonnées cartésiennes par

$\begin{array}{cc}x(u,v)& =uv\\ y(u,v)& =u\\ z(u,v)& =v^2\end{array}$

où les paramètres u et v décrivent l'ensemble des réels. Cette surface est contenue dans celle donnée par l'équation implicite :

$x^2=y^{2}z$

mais cette dernière inclut l'axe des z (aussi appelé poignée du parapluie), alors que la représentation paramétrique impose que z soit positif.

Propriétés

Il s'agit d'un objet d'étude important en théorie des singularités. Les applications génériques opérant sur des 2-variétés et à valeurs dans RModèle:3 ne présentent que deux types de singularités stables : les lignes où se recoupent la surface et le parapluie de Whitney (plus précisément le point inférieur). On doit à Whitney lui-même cette classification.

Le parapluie de Whitney est une surface réglée et même un conoïde droit, de directrice une parabole d'axe parallèle à son axe.

Bibliographie

• Vladimir Arnold, A. Varchenko et S. Goussein-Zadé, Singularités des applications différentiables, Moscou, Mir, 1984
• Modèle:Lien web (Images and movies of the Whitney umbrella.)