Pendule adiabatique

Un pendule adiabatique est un pendule dont la trajectoire est décrite par l'équation différentielle :

$\ddot{x}+{\omega }^2(t)\cdot x=0$.

Adiabatisme

Lorsque la pulsation $\omega$ varie lentement, on envisage une adiabatisme mécanique. L'analyse WKB (Gregor Wentzel - Hendrik Anthony Kramers - Léon Brillouin) montre bien qu'il existe un invariant adiabatique :

$E(t)=\hslash \cdot \omega (t)$,

c’est-à-dire $l(t{)}^3\theta (t{)}^4=\text{cste}$

Haute fréquence

L'analyse WKB convient particulièrement quand la pulsation devient très élevée (c-à-d quand $l(t)$ tend vers zéro ou $g(t)$ tend vers l'infini, dans l'analyse pendulaire).

Alors la solution approchée est :

$x(t)\simeq A\sqrt[4]{l(t)}\cdot \exp (ıS(t))+B\sqrt[4]{l(t)}\cdot \exp (-ıS(t))$,

où $S(t)$ est la phase approchée, c’est-à-dire l'eikonale, primitive de la pulsation. Et les coefficients $A$ et $B$ sont ajustés au mieux avec les conditions initiales.

Voir aussi

• Pendule de Bessel
• Pendule de longueur variable
• Pendule simple