Petit groupe

En relativité, on appelle petit groupe le sous-groupe des transformations de Lorentz ${{\mathrm{\Lambda }}^{\alpha }}_{\beta }$ dont les éléments laissent invariant une quadri-impulsion $p^{\alpha }$ donnée. Si ${W^{\alpha }}_{\beta }$ est un membre de ce groupe, on a donc :

$p^{\alpha }={W^{\alpha }}_{\beta }{p}^{\beta }$

Structure du petit groupe (cas particulier)

(Nous adoptons ici comme métrique lorentzienne ${\eta }_{\mu \nu }$ de signature $(+,-,-,-)$, ainsi que le système d'unités « naturelles » où $\hslash =c=1$)

Considérons, par exemple, une particule matérielle de quadri-impulsion $p^{\alpha }\ne 0$. Il existe alors un référentiel lorentzien dans lequel cette particule est au repos ; on peut donc y écrire : $p^{\alpha }={}^t(M,0,0,0)$.

Tout élément du petit groupe correspondant doit donc vérifier : $p^{\alpha }={W^{\alpha }}_{\beta }{p}^{\beta }$. Donc, en particulier : $p^0={W^0}_0{p}^0(+0+0+0)$, c'est-à-dire ${W^0}_0=1$.

Pour toutes les autres composantes $p^i=0$, nous avons : $p^i=0={W^i}_{\alpha }{p}^{\alpha }$, donc ${W^i}_0=0$.

Considérons maintenant, conformément à la méthode générale sur les groupes de Lie, une transformation du petit groupe ${W^{\alpha }}_{\beta }$ arbitrairement proche de l'identité, de sorte que l'on puisse écrire, au premier ordre :

${W^{\alpha }}_{\beta }={{\delta }^{\alpha }}_{\beta }+{{\omega }^{\alpha }}_{\beta }$

où ${{\omega }^{\alpha }}_{\beta }$ est une transformation infinitésimale. Puisque ${W^{\alpha }}_{\beta }$ est une transformation de Lorentz, elle doit vérifier :

${\eta }_{\nu \mu }={W^{\alpha }}_{\nu }{W^{\beta }}_{\mu }{\eta }_{\alpha \beta }$

Ceci donne, en remplaçant ${W^{\alpha }}_{\nu }$ et ${W^{\beta }}_{\mu }$ par leurs développements correspondants :

${\eta }_{\nu \mu }=({{\delta }^{\alpha }}_{\nu }+{{\omega }^{\alpha }}_{\nu })({{\delta }^{\beta }}_{\mu }+{{\omega }^{\beta }}_{\mu }){\eta }_{\alpha \beta }=({{\delta }^{\alpha }}_{\nu }{{\delta }^{\beta }}_{\mu }+{{\delta }^{\alpha }}_{\nu }{{\omega }^{\beta }}_{\mu }+{{\delta }^{\beta }}_{\mu }{{\omega }^{\alpha }}_{\nu }+...){\eta }_{\alpha \beta }$

$={{\delta }^{\alpha }}_{\nu }{{\delta }^{\beta }}_{\mu }{\eta }_{\alpha \beta }+{{\delta }^{\alpha }}_{\nu }{{\omega }^{\beta }}_{\mu }{\eta }_{\alpha \beta }+{{\delta }^{\beta }}_{\mu }{{\omega }^{\alpha }}_{\nu }{\eta }_{\alpha \beta }={\eta }_{\nu \mu }+{{\delta }^{\alpha }}_{\nu }{\omega }_{\alpha \mu }+{{\delta }^{\beta }}_{\mu }{\omega }_{\beta \nu }={\eta }_{\nu \mu }+{\omega }_{\nu \mu }+{\omega }_{\mu \nu }$

D'où : ${\omega }_{\nu \mu }+{\omega }_{\mu \nu }=0$.

La matrice 4x4 ${\omega }_{\nu \mu }$ est donc antisymétrique, et possède ainsi 6 composantes indépendantes. Avec la condition de nullité des trois composantes ${W^i}_0=0$, on se retrouve avec 3 composantes indépendantes seulement.

Les matrices infinitésimales $({\omega }_{\nu \mu }{)}^i$ sont donc engendrées par trois matrices élémentaires de type $\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& {ϵ}_{ijk}\end{array}\right)$. On reconnaît là les trois générateurs du groupe des rotations de R³, $SO(3)$.

Le petit groupe est donc ici le groupe $SO(3)$, un résultat intuitif attendu.

Autres cas

La quadri-impulsion ne peut prendre que deux autres valeurs physiques :

1. Dans le cas d'une "particule de masse nulle au repos" $p^{\alpha }=0$, le petit groupe est évidemment le groupe de Lorentz homogène $SO(3,1)$ ;
2. Dans le cas d'une particule de masse nulle se déplaçant à la vitesse de la lumière $\frac{dx}{dt}=1,p^{\alpha }={}^t(1,1,0,0)$, le petit groupe est le groupe $ISO(2)$ des rotations et translations du plan euclidien.