Plongement de Segre

Modèle:À sourcer En géométrie algébrique, le plongement de Segre est un morphisme qui identifie le produit fibré de deux espaces projectifs à une variété projective. Une conséquence en est que le produit fibré de deux variétés projectives est une variété projective.

Le cas des espaces projectifs

On fixe un corps $k$ et deux entiers naturels $n,m>0$ et on considère le produit fibré $P={\mathbb{P}}_k^n{\times }_k{\mathbb{P}}_k^m$ des espaces projectifs de dimensions respectives $n,m$. Alors il existe un morphisme de variétés algébriques

$f:P\to {\mathbb{P}}_k^{nm+n+m}$

qui est une immersion fermée (i.e. $f$ induit un isomorphe sur son image qui est une sous-variété fermée de ${\mathbb{P}}_k^{nm+n+m}$). De plus, au niveau des points rationnels, on a

$f((x_0:\dots :x_n),(y_0:\dots :y_m))=(x_0{y}_0:x_0{y}_1:\dots :x_0{y}_m:x_1{y}_0:\dots :x_n{y}_m).$

Cette immersion est appelée le plongement de Segre.

De façon formelle, ce morphisme peut être construit localement sur un recouvrement affine. En effet $P$ est la réunion des $D_{+}(X_i){\times }_k{D}_{+}(Y_j)$, et ${\mathbb{P}}_k^{nm+n+m}=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}k[T_{ij}{]}_{0\le i\le n,0\le j\le m}$ est recouvert par les ouverts affines $D_{+}(T_{ij})$. Sur $D_{+}(X_i){\times }_k{D}_{+}(Y_j)$, le morphisme $f$ est le morphisme de variétés affines

$D_{+}(X_i){\times }_k{D}_{+}(Y_j)\to D_{+}(T_{ij})$

correspondant au morphisme surjectif de $k$-algèbres

$k[T_{kl}/T_{ij}{]}_{k,l}\to k[X_k/X_i,Y_l/Y_j{]}_{k,l},T_{kl}/T_{ij}\mapsto (X_k/X_i)(Y_l/Y_j).$

Exemple

Si $n=m=1$, alors $f$ identifie le produit ${\mathbb{P}}_k^1{\times }_k{\mathbb{P}}_k^1$ des droites projectives à son image dans ${\mathbb{P}}_k^3$, laquelle est la quadrique d'équation

$t_0{t}_3-t_1{t}_2=0.$

Cas général

Soient $X,Y$ des variétés projectives sur $k$. Par définition, elles sont isomorphes respectivement à des sous-variétés fermées de ${\mathbb{P}}_k^n$ et ${\mathbb{P}}_k^m$. Alors le produit fibré $X{\times }_{k}Y$ est isomorphe à une sous-variété fermée de ${\mathbb{P}}_k^n{\times }_k{\mathbb{P}}_k^m$. Comme celle-ci est une variété projective par le plongement de Segre, on en déduit que $X{\times }_{k}Y$ est aussi une variété projective.