Point col

Sur le graphe de la fonction $(x,y)\mapsto x^2-y^2$, le point en rouge Modèle:Math est associé à l'unique point-selle Modèle:Math de cette fonction.

En mathématiques, un point col ou point-selle (Modèle:En anglais) d'une fonction Modèle:Mvar définie sur un produit cartésien Modèle:Math de deux ensembles Modèle:Mvar et Modèle:Mvar est un point $(\overline{x},\overline{y})\in X\times Y$ tel que :

• $y\mapsto f(\overline{x},y)$ atteint un maximum en $\overline{y}$ sur Modèle:Mvar ;
• et $x\mapsto f(x,\overline{y})$ atteint un minimum en $\overline{x}$ sur Modèle:Mvar.

Certains auteurs inversent les maximum et minimum ($f(\overline{x},\cdot )$ a un minimum en $\overline{y}$ et $f(\cdot ,\overline{y})$ a un maximum en $\overline{x}$), mais cela ne modifie pas qualitativement les résultats (on peut revenir au cas présent par un changement de variables).

Le terme point-selle fait référence à la forme de selle de cheval que prend le graphe de la fonction lorsque Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont des intervalles de $ℝ$. Le terme de point col, renvoie, quant à lui, à l'image du col de montagne. Dans (au moins) une direction, le point-col est un point de maximum (pour passer d'une vallée à l'autre) et dans (au moins) une autre direction, c'est un point de minimum (pour passer d'une montagne à l'autre).

La notion de point col ou point-selle intervient :

• en optimisation, comme concept permettant d'énoncer des conditions assurant l'existence de solution primale-duale ;
• en théorie des jeux ;
• pour déterminer des solutions particulières de certaines équations qui ne sont pas des minima ou des maxima de fonctionnelle d'énergie.
• en théorie analytique des nombres, pour obtenir des estimations uniformes de certaines fonctions de comptage d'entiers.

Définition

Voici une définition assez générale de la notion de point-selle d'une fonction définie sur un produit cartésien d'ensembles. Aucune structure n'est requise sur ces ensembles. La fonction doit par contre prendre ses valeurs dans l'ensemble des réels $ℝ$ (ou plus généralement dans la droite réelle achevée $\overline{ℝ}$).

Autrement dit, $y\mapsto f(\overline{x},y)$ atteint un maximum en $\overline{y}$ sur Modèle:Mvar et $x\mapsto f(x,\overline{y})$ atteint un minimum en $\overline{x}$ sur Modèle:Mvar. Rien n'est requis en dehors de la croix $(\{\overline{x}\}\times Y)\cup (X\times \{\overline{y}\})$, si bien que l'image de la selle ou du col peut être trompeuse comme lorsque $f:{ℝ}^2\to ℝ$ est définie par Modèle:Math (tous les points de l'axe des ordonnées sont des points-selles).

On pourra souvent se ramener à la définition précédente par un changement de variable. Par exemple, le point $(0,0)\in {ℝ}^2$ n'est pas un point-selle de la fonction $(x,y)\in {ℝ}^2\mapsto xy+(x^3+y^3)$, au sens de la définition ci-dessus, mais le devient localement après le changement de variable $\tilde{x}=x+y$ et $\tilde{y}=x-y$.

Résultat d'existence

Le résultat d'existence de point-selle ci-dessous rappelle celui de Weierstrass sur l'existence d'un minimiseur de fonction, mais requiert une hypothèse de convexité-concavité de Modèle:Mvar. Sans cette dernière hypothèse, pas de point-selle garanti comme le montre l'exemple de la fonction

$f(x,y)=x^2+y^2,\text{sur}[-1,1]\times [-1,1].$

Ce résultat généralise l'identité de von Neumann qui traite du cas où Modèle:Mvar est bilinéaire et les ensembles Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont des simplexes de dimension finie.

Propriétés

Le résultat suivant est fondamental dans la théorie de la dualité en optimisation, dans laquelle on définit un problème primal par

$(P)\underset{x\in X}{\inf }\underset{y\in Y}{\sup }f(x,y)$

et le problème dual associé par

$(D)\underset{y\in Y}{\sup }\underset{x\in X}{\inf }f(x,y).$

On dit alors qu'il n'y a pas de saut de dualité si

$\underset{y\in Y}{\sup }\underset{x\in X}{\inf }f(x,y)=\underset{x\in X}{\inf }\underset{y\in Y}{\sup }f(x,y),$

l'inégalité ≤ dite de dualité faible étant toujours garantie.

L'ensemble des points-selles d'une fonction $f:X\times Y\to \overline{ℝ}$ a une structure très particulière, comme le montre le résultat suivant : c'est un produit cartésien. On y a noté Modèle:Math l'ensemble des solutions du problème primal Modèle:Math et Modèle:Math l'ensemble des solutions du problème dual Modèle:Math.

Point-selle en calcul différentiel

Utilisation de la hessienne

Pour déterminer si un point critique d'une fonction de classe Modèle:Math de Modèle:Mvar variables à valeurs réelles Modèle:Math est un point-selle on calcule la matrice hessienne en ce point. Si la forme quadratique définie par la hessienne est non dégénérée et de type Modèle:Math avec Modèle:Math (ce qui, pour Modèle:Math, revient à dire que le déterminant de la matrice hessienne est strictement négatif), on a un point-selle après changement et regroupement des variables (selon le lemme de Morse).

Par exemple, le gradient et la hessienne de la fonction Modèle:Math s'écrivent

$\mathrm{\nabla }f(x,y)=\left(\begin{array}{c}2x\\ -2y\end{array}\right)\text{et}{\mathrm{\nabla }}^{2}f(x,y)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -2\end{array}\right).$

Le gradient est donc nul en Modèle:Math (c'est un point critique) et la hessienne a une valeur propre strictement positive (2) et une valeur propre strictement négative (-2). Par conséquent, Modèle:Math est un point-selle.

Ce critère ne donne pas de condition nécessaire : pour la fonction $(x,y)\mapsto f(x,y)=x^4-y^4$, le point Modèle:Math est un point-selle mais la hessienne en ce point est la matrice nulle. Donc la hessienne n'a pas de valeur propre strictement positive et négative.

Annexes

Articles connexes

• Conditions d'optimalité (dimension finie)
• Fonction convexe-concave
• Méthode du point col
• Théorème du col

Bibliographie

• H. Brézis (1973), Opérateurs Maximaux Monotones et semi-groupes de contractions dans les espaces de Hilbert. Mathematics Studies 5. North-Holland, Amsterdam. Modèle:ISBN.
• Modèle:En M. Sion (1958), « Modèle:Langue », Modèle:Langue 8, 171-176.