Polynôme de Bernstein

Les polynômes de Bernstein, nommés ainsi en l'honneur du mathématicien russe Sergueï Bernstein (1880-1968), permettent de donner une démonstration constructive et probabilisteModèle:,Modèle:, du théorème d'approximation de Weierstrass. Ils sont également utilisés dans la formulation générale des courbes de Bézier.

Description

Pour un degré Modèle:Math, il y a Modèle:Math polynômes de Bernstein Modèle:Math définis, sur l'intervalle Modèle:Math, par

$B_i^m(u)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{i})u^i(1-u{)}^{m-i}$,

où les $(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{i})=\frac{m!}{i!(m-i)!}$ sont les coefficients binomiaux.

Les Modèle:Math polynômes de Bernstein forment une base de l'espace vectoriel des polynômes de degré au plus Modèle:Mvar.

Premiers polynômes

Les polynômes de Bernstein pour les premiers ordres sont :

• n = 0

$B_0^0(x)=1$

• n = 1

$B_0^1(x)=1-x,B_1^1(x)=x$

• n = 2

$B_0^2(x)=(1-x{)}^2,B_1^2(x)=2x(1-x),B_2^2(x)=x^2$

• n = 3

$B_0^3(x)=(1-x{)}^3,B_1^3(x)=3x(1-x{)}^2,B_2^3(x)=3x^2(1-x),B_3^3(x)=x^3$

Propriétés

Polynômes de Bernstein de degré 3.

Ces polynômes présentent plusieurs propriétés importantes : $\mathrm{\forall }u\in [0,1]$

• partition de l'unité :

$\sum _{i=0}^m{B}_i^m(u)=1,$

• positivité :

$\mathrm{\forall }i\in \{0,\dots ,m\}{B}_i^m(u)\ge 0,$

• symétrie :

$\mathrm{\forall }i\in \{0,\dots ,m\}{B}_i^m(u)=B_{m-i}^m(1-u),$

• valeurs aux bords :

$\mathrm{\forall }i\in \{0,\dots ,m\}{B}_i^m(0)={\delta }_{i,0},B_i^m(1)={\delta }_{i,m}$

avec Modèle:Mvar le symbole de Kronecker

• multiplicité des racines :

pour Modèle:Mvar, 0 est une racine de multiplicité Modèle:Mvar et 1, une racine de multiplicité Modèle:Mvar.

• formules de récurrence : pour Modèle:Math,

$B_i^m(u)=\{\begin{array}{cc}(1-u)B_i^{m-1}(u)& \text{si }i=0\\ (1-u)B_i^{m-1}(u)+u{B}_{i-1}^{m-1}(u)& \mathrm{\forall }i\in \{1,\dots ,m-1\}\\ u{B}_{i-1}^{m-1}(u)& \text{si }i=m.\end{array}$.

$B_i^m\prime (u)=m(B_{i-1}^{m-1}(u)-B_i^{m-1}(u)).$

• décomposition sur la base canonique :

$B_i^m(u)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{i})\sum _{k=0}^{m-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m-i}{k})(-1{)}^k{u}^{i+k}=\sum _{l=i}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{l})(\genfrac{}{}{0ex}{}{l}{i})(-1{)}^{l-i}{u}^l$

et inversement

$u^p=\sum _{k=0}^{m-p}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m-p}{k})\frac{1}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})}{B}_{m-k}^m(u)=\frac{1}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{p})}\sum _{s=p}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{p})B_s^m(u).$

Lien avec la loi binomiale

D'un point de vue probabiliste, pour tout Modèle:Math, Modèle:Math est la probabilité $\mathbb{P}(X=i)$, où Modèle:Mvar est une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre Modèle:Math. C'est d'ailleurs l'interprétation qu'en fait Bernstein dans sa démonstration du théorème d'approximation de Weierstrass.

Voir aussi

• Les courbes de Bézier sont construites à l'aide des polynômes de Bernstein
• Algorithme de De Casteljau, permet de calculer efficacement les polynômes de Bernstein
• Approximation de Bernstein, permet d'approcher uniformément des fonctions continues