Polynômes de Mott

En mathématiques, les polynômes de Mott Modèle:Math sont des polynômes introduits par N. F. Mott qui les a appliqués à un problème de théorie des électrons. Ils sont donnés par la série génératrice exponentielle

$\exp \left(x\frac{\sqrt{1-t^2}-1}{t}\right)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{s}_n(x)\frac{t^n}{n!}.$

Parce que le facteur dans l'exponentielle a le développement en série entière

$\frac{\sqrt{1-t^2}-1}{t}=-\sum _{k\ge 0}{C}_k{\left(\frac{t}{2}\right)}^{2k+1}$

en termes de nombres de Catalan $C_k$, le coefficient devant $x^k$ du polynôme peut s’écrire

$[x^k]s_n(x)=(-1{)}^k\frac{n!}{k!2^n}\sum _{n=l_1+l_2+\cdots +l_k}{C}_{(l_1-1)/2}{C}_{(l_2-1)/2}\cdots C_{(l_k-1)/2}$,

selon la formule générale des polynômes d'Appell généralisés, où la somme s'étend sur toutes les compositions $n=l_1+l_2+\cdots +l_k$ de $n$ en $k$ entiers impairs positifs. Le produit vide apparaissant pour $k=n=0$ est égal à 1. Les valeurs spéciales, où tous les nombres de Catalan de la somme sont égaux à 1, sont

$[x^n]s_n(x)=\frac{(-1{)}^n}{2^n}.$

$[x^{n-2}]s_n(x)=\frac{(-1{)}^{n}n(n-1)(n-2)}{2^n}.$

Par différenciation, la récurrence pour la dérivée première devient

$s^{\prime }(x)=-\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }\frac{n!}{(n-1-2k)!2^{2k+1}}{C}_k{s}_{n-1-2k}(x).$

Les premiers de ces polynômes sont donnés par la Modèle:OEIS

$s_0(x)=1;$

$s_1(x)=-\frac{1}{2}x;$

$s_2(x)=\frac{1}{4}{x}^2;$

$s_3(x)=-\frac{3}{4}x-\frac{1}{8}{x}^3;$

$s_4(x)=\frac{3}{2}{x}^2+\frac{1}{16}{x}^4;$

$s_5(x)=-\frac{15}{2}x-\frac{15}{8}{x}^3-\frac{1}{32}{x}^5;$

$s_6(x)=\frac{225}{8}{x}^2+\frac{15}{8}{x}^4+\frac{1}{64}{x}^6;$

Les polynômes Modèle:Math forment la suite de Sheffer associée à Modèle:Math Modèle:Référence Harvard. Arthur Erdélyi, Wilhelm Magnus et Fritz Oberhettinger en donnent une expression explicite en termes de fonction hypergéométrique généralisée ₃F₀ :

$s_n(x)={(-\frac{x}{2})}^n{}_3{F}_0(-n,\frac{1-n}{2},1-\frac{n}{2};;-\frac{4}{x^2})$

Polynômes de Mott généralisés

En 2014, une généralisation des polynômes de Mott a été donnée en introduisant un paramètre β:

$s_{n,\beta }(x)=\sum _{k=1}^n\sum _{l=0}^k(-1{)}^{k-l+\frac{n+k}{2}}\frac{n!(1+(-1{)}^{n+k})}{2p!}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{l})(\genfrac{}{}{0ex}{}{\beta l}{\frac{n+k}{2}})x^k.$

Les polynômes de Mott originaux correspondent au cas Modèle:Math.

Applications

Les polynômes de Mott sont utilisés dans la résolution numérique de problèmes de théorie du contrôle.

Références

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Article
• Modèle:Ouvrage