Pondération inverse à la distance
La pondération inverse à la distance ou PID (en anglais, inverse distance weighting ou IDW) est une méthode d'interpolation spatiale, un processus permettant d'assigner une valeur à tout point d'un espace à partir d'un semis de points connus.
Une forme courante pour trouver une valeur interpolée Modèle:Mvar à partir d'un point donné Modèle:Math en utilisant la PID comme fonction d'interpolation : Modèle:Retrait
où : Modèle:Retrait
est une fonction simple de pondération, comme définie par Shepard[1], Modèle:Math étant le point à interpoler, Modèle:Math est un point d'interpolation (connu), Modèle:Mvar la valeur de la fonction Modèle:Mvar au point Modèle:Math, Modèle:Mvar est une distance donnée (opérateur de mesure) du point d'interpolation Modèle:Math au point à interpoler Modèle:Math, Modèle:Mvar est le nombre total de points connus utilisés dans l'interpolation et Modèle:Mvar est un nombre positif réel, appelé le paramètre de puissance. Ici, le poids des points voisins diminue lorsque la distance augmente. Les plus grandes valeurs de Modèle:Mvar donnent une influence plus grande aux valeurs les plus proches du point interpolé. Pour Modèle:Math, en Modèle:Math, on observe des sommets lissés autour du point d'interpolation Modèle:Math, alors que pour Modèle:Math, le pic devient plus pointu. Le choix de Modèle:Mvar est donc une fonction du degré de lissage désiré pour l'interpolation, de la densité et la distribution des échantillons interpolés, et de la distance maximum au-delà de laquelle un échantillon individuel peut influencer les points environnants. Telle que décrite, la fonction d'interpolation est indéterminée aux points d'interpolation (division 0/0). Dans ce cas, la pondération sera prise égale à 1 pour le point à distance 0 de x, et 0 pour tous les autres points.
Pondération de Shepard
La méthode de Shepard est une conséquence de la minimisation d'une fonction liée à la mesure des déviations entre les tuples de points interpolés Modèle:Math et k tuples de points d'interpolation Modèle:Math, définis comme : Modèle:Retrait
dérivé de la condition de minimisation : Modèle:Retrait
La méthode peut être aisément étendue à des dimensions supérieures de l'espace et est en fait une généralisation de l'approximation de Lagrange aux espaces multidimensionnels.
Une version modifiée de l'algorithme créé pour l'interpolation trivariée a été développée par Robert J. Renka et est disponible dans Netlib comme "algorithm 661" dans la bibliothèque "toms" ("Transactions On Mathematical Software").
Autres pondérations
Pondération de Łukaszyk-Karmowski
Une autre modification de la méthode de Shepard a été proposée par Łukaszyk[2] aussi en application à la mécanique appliquée. La fonction de pondération proposée avait la forme suivante :
Modèle:Retrait où est la mesure de Lukaszyk-Karmowski choisie également en fonction de l'erreur statistique et de la distribution de la probabilité de la mesure des points interpolés.
Pondération de Franke-Little
Une modification de la méthode de Shepard a été proposée par Franke[3], qui suggère d'utiliser : Modèle:Retrait comme fonction de pondération, où R est le rayon de la sphère d'influence, distance au-delà de laquelle les points d'interpolation n'ont plus d'effet sur la valeur interpolée. De fait, la pondération de Franke-Little rend l'interpolation locale. Il faut s'assurer de choisir R pour que suffisamment de points soient situés à l'intérieur de la sphère d'influence. L'interpolation locale permet de diminuer la quantité de calculs lorsque les points d'interpolations sont très nombreux.