Primitives de fonctions irrationnelles

Modèle:Ébauche Cet article dresse une liste non exhaustive de primitives de fonctions irrationnelles.

On suppose $a\ne 0$.

$\int (ax+b{)}^{\alpha }\mathrm{d}x=\frac{1}{(\alpha +1)a}(ax+b{)}^{\alpha +1}+C$ ($\alpha \ne -1$)

$\int \frac{1}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}\mathrm{d}x$$=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{a}}\mathrm{arsinh}\frac{2ax+b}{\sqrt{-(b^2-4ac)}}+C& \text{si }{b}^2-4ac<0\text{ et }a>0\\ \frac{1}{\sqrt{a}}\ln |2ax+b|+C& \text{si }{b}^2-4ac=0\text{ et }a>0\\ -\frac{1}{\sqrt{-a}}\arcsin \frac{2ax+b}{\sqrt{b^2-4ac}}+C& \text{si }{b}^2-4ac>0\text{ et }a<0\end{array}$

$\int \sqrt{a{x}^2+bx+c}\mathrm{d}x=\frac{2ax+b}{4a}\sqrt{a{x}^2+bx+c}-\frac{b^2-4ac}{8a}\int \frac{1}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}\mathrm{d}x$

$\int \frac{x}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}\mathrm{d}x=\frac{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}{a}-\frac{b}{2a}\int \frac{1}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}\mathrm{d}x$

On suppose $a>0$

$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm{d}x=\arcsin \frac{x}{a}+C$

$\int \frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}\mathrm{d}x=\mathrm{arsinh}\frac{x}{a}+C$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}\mathrm{d}x=\mathrm{arcosh}\frac{x}{a}+C$

$\int \sqrt{a^2-x^2}\mathrm{d}x=\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}+C$

$\int \sqrt{a^2+x^2}\mathrm{d}x=\frac{x}{2}\sqrt{a^2+x^2}+\frac{a^2}{2}\mathrm{arsinh}\frac{x}{a}+C$

$\int \sqrt{x^2-a^2}\mathrm{d}x=\frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^2}{2}\mathrm{arcosh}\frac{x}{a}+C$

$\int x\sqrt{a^2+x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{3}\sqrt{(a^2+x^2{)}^3}+C$

$\int x\sqrt{a^2-x^2}\mathrm{d}x=-\frac{1}{3}\sqrt{(a^2-x^2{)}^3}+C$

$\int x\sqrt{x^2-a^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{3}\sqrt{(x^2-a^2{)}^3}+C$

$\int \frac{1}{x}\sqrt{a^2+x^2}\mathrm{d}x=\sqrt{a^2+x^2}-a\ln \left|\frac{1}{x}(a+\sqrt{a^2+x^2})\right|+C$

$\int \frac{1}{x}\sqrt{a^2-x^2}\mathrm{d}x=\sqrt{a^2-x^2}-a\ln \left|\frac{1}{x}(a+\sqrt{a^2-x^2})\right|+C$

$\int \frac{1}{x}\sqrt{x^2-a^2}\mathrm{d}x=\sqrt{x^2-a^2}-a\arccos \frac{a}{x}+C$

$\int \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm{d}x=-\sqrt{a^2-x^2}+C$

$\int \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}\mathrm{d}x=\sqrt{a^2+x^2}+C$

$\int \frac{x}{\sqrt{x^2-a^2}}\mathrm{d}x=\sqrt{x^2-a^2}+C$

$\int \frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm{d}x=-\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}+C$

$\int \frac{x^2}{\sqrt{a^2+x^2}}\mathrm{d}x=\frac{x}{2}\sqrt{a^2+x^2}-\frac{a^2}{2}\mathrm{arsinh}\frac{x}{a}+C$

$\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2-a^2}}\mathrm{d}x=\frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2}+\frac{a^2}{2}\mathrm{arcosh}\frac{x}{a}+C$