Primitives de fonctions logarithmes

Modèle:Article principal Modèle:Ébauche Cet article donne les primitives de fonctions logarithmes.

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{Z}\setminus \{-1\},\int (\ln x{)}^n\frac{\mathrm{d}x}{x}=\frac{(\ln x{)}^{n+1}}{n+1}+C$

$\mathrm{\forall }m\in \mathbb{Z}\setminus \{-1\},\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\int (\ln x{)}^n{x}^m\mathrm{d}x=x^{m+1}\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^{n-k}n!}{(m+1{)}^{n-k+1}k!}(\ln x{)}^k+C$

$\mathrm{\forall }m\in \mathbb{Z},$

$\mathrm{\forall }n\in \{2,3,\dots \},\int \frac{x^m}{(\ln x{)}^n}\mathrm{d}x=-x^{m+1}\sum _{k=1}^{n-1}\frac{(k-1)!(m+1{)}^{n-1-k}}{(n-1)!(\ln x{)}^k}+\frac{(m+1{)}^{n-1}}{(n-1)!}\int \frac{x^m}{\ln x}\mathrm{d}x+C$

$\text{et}\int \frac{x^m}{\ln x}\mathrm{d}x=\ln |\ln x|+\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(m+1{)}^n(\ln x{)}^n}{n!\cdot n}+C$

$\mathrm{\forall }a\ne 0,\int {\mathrm{e}}^{ax}\ln x\mathrm{d}x=\frac{1}{a}{\mathrm{e}}^{ax}\ln |x|-\frac{1}{a}\int \frac{{\mathrm{e}}^{ax}}{x}\mathrm{d}x$