Probabilité a posteriori

Dans le théorème de Bayes, la probabilité a posteriori désigne la probabilité recalculée ou remesurée qu'un évènement ait lieu en prenant en considération une nouvelle information. Autrement dit, la probabilité a posteriori est la probabilité qu'un évènement A ait lieu étant donné que l'évènement B a eu lieu. Elle s'oppose à la probabilité a priori dans l'inférence bayésienne.

Définition

La loi a priori $p(\theta )$ qu'un évènement $X$ ait lieu avec vraisemblance est $p(X|\theta )$. La probabilité a posteriori se définit comme :

$p(\theta |X)=\frac{p(X|\theta )p(\theta )}{p(X)}.$

La probabilité a posteriori peut s'écrire : $\text{Probabilité a posteriori}\propto \text{Vraisemblance}\times \text{Probabilité a priori}.$

Calcul

La distribution d'une probabilité a posteriori d'une variable aléatoire étant donné la valeur d'une autre peut être calculée avec le théorème de Bayes en multipliant la distribution de la probabilité a priori par la fonction de vraisemblance, et ensuite divisé par la constante de normalisation, tel que :

$f_{X\mid Y=y}(x)=\frac{f_X(x){ℒ}_{X\mid Y=y}(x)}{\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_X(u){ℒ}_{X\mid Y=y}(u)du}$

ce qui donne la fonction de densité a posteriori d'une variable aléatoire $X$ étant donné que $Y=y$ et où :

• $f_X(x)$ est la densité antérieure de $X$,
• ${ℒ}_{X\mid Y=y}(x)=f_{Y\mid X=x}(y)$ est la fonction de vraisemblance de $x$,
• $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_X(u){ℒ}_{X\mid Y=y}(u)du$ est la constante de normalisation, et
• $f_{X\mid Y=y}(x)$ la densité postérieure de $X$ sachant $Y=y$.

Articles connexes

• Inférence bayésienne
• Probabilité a priori
• Probabilité conditionnelle
• Statistique bayésienne
• Fonction de vraisemblance
• Théorème de Bayes

Bibliographie

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