Problème de Fagnano
Le problème de Fagnano, encore appelé « problème du triangle de Schwarz », est un célèbre problème de géométrie euclidienne résolu par le mathématicien italien Giulio Fagnano (1682-1766) et son fils Modèle:Lien (1715-1797)[1] : Modèle:Énoncé
Énoncé
Démonstration
Soit Modèle:Math le triangle donné. On cherche les points M, N et P sur les côtés [BC], [AC] et [AB] respectivement, de sorte que le périmètre de Modèle:Math soit minimal.
On considère dans un premier temps une version plus simple du problème. On fixe un point P arbitraire sur (AB), afin de déterminer les points M et N sur (BC) et (AC) respectivement, tels que Modèle:Math soit de périmètre minimal (ce minimum dépendra du choix de P). Soit Modèle:Math l'image de P par la réflexion d'axe (BC) et Modèle:Math d'axe (AC). Alors Modèle:Math, et . En posant , on en déduit . De plus, Modèle:Math, puisque Modèle:Math, par définition. Par conséquent, la droite Modèle:Math coupe les côtés [BC] et [AC] de Modèle:Math aux points M et N respectivement et le périmètre de Modèle:Math est égal à la distance Modèle:Math. D'une manière analogue, si Z est un point quelconque sur [BC] et Y un point quelconque sur [AC], le périmètre de Modèle:Math est égal à la longueur de la ligne brisée Modèle:Math, qui est supérieure ou égale à Modèle:Math. Ainsi, le périmètre de Modèle:Math est supérieur ou égal au périmètre de Modèle:Math et l'égalité a lieu précisément lorsque Z = M et Y = N.
Ainsi, il faut trouver un point P de [AB] de sorte que Modèle:Math soit de longueur minimale. On remarque que ce segment est la base d'un triangle isocèle Modèle:Math avec comme angle constant Modèle:Math au point C et comme côtés Modèle:Math. Ainsi, il faut choisir P sur [AB] de sorte que Modèle:Math soit minimal. Il est évident que ce minimum est obtenu lorsque P est le pied de la hauteur issue de C.
Remarquons maintenant que si P est le pied de la hauteur issue de C, alors M et N sont les pieds des deux autres hauteurs de Modèle:Math. Pour prouver cette assertion, notons Modèle:Math et Modèle:Math les pieds des hauteurs de Modèle:Math passant par A et B respectivement. Alors
ce qui montre que le point Modèle:Math appartient à la droite Modèle:Math. D'une manière analogue, Modèle:Math appartient à la droite Modèle:Math et donc Modèle:Math et Modèle:Math.
En conclusion, de tous les triangles inscrits à Modèle:Math, celui de périmètre minimal est celui dont les sommets sont les pieds des hauteurs issues de Modèle:Math.
Cas du triangle obtusangle
Lorsque Modèle:Math est obtusangle, le triangle MNP est tel que M, N et C sont confondus, et P le pied de la hauteur issue de C. Dans ce cas, on dit que Modèle:Math est dégénéré.