Problème des quatre quatre
Le problème des quatre quatre, parfois appelé « puzzle des quatre quatre », est un problème récréatif arithmétique : « Quels sont les entiers naturels que l'on peut écrire en utilisant quatre fois le chiffre quatre et les opérations usuelles ? »
Genèse
Le jeu est mentionné pour la première fois dans l'ouvrage Modèle:Lang édité en 1881 par Richard A. Proctor, un astronome anglais réputé pour avoir dressé une des premières cartes de la planète Mars[1].
Dans son livre Modèle:Lang, W. W. Rouse Ball en donne en 1892 une description précise et le présente comme un Modèle:Citation[2].
Règles
Plusieurs variantes du jeu existent, selon les symboles mathématiques qu’on s’autorise, sachant que toutes acceptent bien sûr l’addition (« + »), la soustraction (« − »), la multiplication (« × »), la division (« ÷ ») et les parenthèses :
- avec quatre fois le nombre Modèle:Math et les Modèle:Page h' élémentaires, il est possible d'obtenir tous les entiers naturels de Modèle:Math à Modèle:Math, mais il n'est pas possible d'obtenir Modèle:Math ni Modèle:Math ;
- avec quatre chiffres quatre et concaténation possibles (possibilité d'écrire des nombres formés de chiffres Modèle:Math comme « 44 ») le nombre de solutions augmente ;
- avec le recours aux factorielles (« n! »), à la racine carrée (« √ »), aux puissances (comme dans 444), on peut aller jusqu'à 74 Modèle:Nobr ;
- avec la virgule en tête de nombre (,4 = 0,4 = 4/10) et la fonction gamma (Γ(), où Γ(n) = (n − 1)!, ainsi Γ(4) = 6), on peut aller bien au-delà.
On accepte parfois la fonction inverse (« 1/n »), la sous-factorielle (notée !n = n!·(1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4! - ... ±1/n!), la sommation (exemple : ), voire des opérations originales telles que le produit des nombres inférieurs de même parité ("n!!", par exemple 9!! Modèle:Nobr) ou la somme des nombres inférieurs ("n?", par exemple Modèle:Nobr. La répétition à l'infini de la Modèle:Nobr peut être acceptée ou non : "," (pour 0,4444… Modèle:Nobr).
En revanche l’opérateur logarithme n’est pas autorisé, car on peut systématiquement exprimer n'importe quel entier par la formule suivante[3] :
Solutions
Voici des exemples de solutions pour les 23 premiers entiers naturels, en utilisant des règles classiques. Pour chacun, il existe de nombreuses solutions correctes. Les expressions en bleu s'obligent à ne faire appel qu’à quatre entiers 4 (plutôt que quatre chiffres 4) et aux opérations arithmétiques élémentaires. Celles en italique recourent plusieurs fois au même opérateur.
0 Modèle:Red Modèle:Blue Modèle:Red 44 − 44 1 Modèle:Red Modèle:Blue Modèle:Red 44 ÷ 44 2 Modèle:Red Modèle:Blue Modèle:Red (44 + 4) ÷ 4! 3 Modèle:Red Modèle:Blue Modèle:Red Modèle:Blue 4 Modèle:Red Modèle:Blue Modèle:Red −44 + 4! + 4! 5 Modèle:Red Modèle:Blue Modèle:Red (44 − 4!) ÷ 4 6 Modèle:Red Modèle:Blue Modèle:Red 4,4 + 4 ×,4 7 Modèle:Red Modèle:Blue Modèle:Red 44 ÷ 4 − 4 8 Modèle:Red Modèle:Blue Modèle:Red 4,4 − ,4 + 4 9 Modèle:Red Modèle:Blue Modèle:Red 44 ÷ 4 − √4 10 Modèle:Red 4 ÷√4 + 4 ×√4 Modèle:Red (44 − 4) ÷ 4 11 Modèle:Red (4!×√4 - 4)÷ 4 Modèle:Red 44 / (√4 + √4) 12 Modèle:Red Modèle:Blue Modèle:Red (44 + 4) ÷ 4 13 Modèle:Red (4!×√4 + 4)÷ 4 Modèle:Red (4 − ,4) ÷ ,4 + 4 Modèle:Red 44 ÷ 4 + √4 14 Modèle:Red 4 × 4 - 4 ÷√4 Modèle:Red 4 × (√4 + √4) - √4 15 Modèle:Red Modèle:Blue Modèle:Red 44 ÷ 4 + 4 16 Modèle:Red Modèle:Blue Modèle:Red (44 − 4) ×,4 17 Modèle:Red Modèle:Blue Modèle:Red (44 + 4!)÷ 4 18 Modèle:Red 4 × 4 + 4 −√4 Modèle:Red (44 ÷ √4) − 4 19 Modèle:Red 4!−(4 + 4 ÷ 4) Modèle:Red (4 + 4 − ,4) ÷ ,4 20 Modèle:Red Modèle:Blue Modèle:Red (44 − 4) ÷ √4 21 Modèle:Red 4!− 4 + 4 ÷ 4 Modèle:Red (44 − √4) ÷ √4 22 Modèle:Red 4!÷ 4 + 4 × 4 Modèle:Red 44 ÷ (4 − √4) 23 Modèle:Red 4!+ 4 ÷ 4 −√4 Modèle:Red (44 + √4) ÷ √4 24 Modèle:Red Modèle:Blue Modèle:Red (44 + 4) ÷ √4 25 Modèle:Red 4!− 4 ÷ 4 +√4 Modèle:Red (4 + 4 + √4) ÷ ,4 26 Modèle:Red 4!+ √4 + 4 - 4 27 Modèle:Red 4!+ √4 + (4 ÷ 4) 28 Modèle:Red Modèle:Blue Modèle:Red 4!+ 4 + 4 - 4 29 Modèle:Red 4!+ 4 + (4 ÷ 4) 30 Modèle:Red 4!+ 4 + 4 - √4 31 Modèle:Red 4!+ (4! + 4) ÷ 4 32 Modèle:Red Modèle:Blue
Il est particulièrement difficile de résoudre certains nombres. Ainsi, pour 113, David A. Wheeler a suggéré[4] :
Autre exemple d'utilisation de la fonction gamma : 157 = ((Γ(4)!+4) ÷ 4) - 4!.
Accepter d’utiliser le pourcentage ("%") dans les formules Modèle:Incise permet d’accéder à un ensemble bien plus vaste de nombres. Par exemple : 113 = (√4 + (√4 + 4!)%) ÷ (√4)%.
Résolution algorithmique
Le problème et ses généralisations (cinq 5, six 6, etc.) peuvent être résolus par un algorithme simple, qui fait appel à des tables reliant entiers naturels et expressions à base du chiffre choisi. Une telle table existe pour chaque nombre n d’occurrences de d. Par exemple, si d=4, la table pour deux occurrences de d contiendra notamment la paire (8 ; 4+4) ; celle pour trois occurrences de d contiendra la paire (2 ; (4+4)/4), etc. Les tables pour n=1 et n=2 contiennent les formules élémentaires, qui ne sont pas la combinaison de formules plus petites. Ainsi, pour n=1 :
T[4] := 4
T[2] := √4
T[4/10] := .4
T[4/9] := .4...
etc.
et pour n=2 :
T[44] := 44
etc.
La tâche consiste alors à se référer par récurrence à ces tables, en partant de n=1 jusqu’à dans notre exemple n=4. Pour un n donné, on construit la table en recensant les combinaisons pertinentes de formules plus petites.
Variantes
Extrait de la table des solutions du problème des cinq 5
139 = (((5+(5/5))!/5)-5) 140 = (,5*(5+(5*55))) 141 = ((5)!+((5+(5+,5))/,5)) 142 = ((5)!+((55/,5)/5)) 143 = ((((5+(5/5)))!-5)/5) 144 = ((((55/5)-5))!/5) 145 = ((5*(5+(5*5)))-5) 146 = ((5)!+((5/5)+(5*5))) 147 = ((5)!+((,5*55)-,5)) 148 = ((5)!+(,5+(,5*55))) 149 = (5+(((5+(5/5)))!+5))
Extrait de la table des solutions au problème des six 6
La notation ,6... représente ici le nombre 2/3, avec 6 en décimale récurrente.
241 = ((,6+((6+6)*(6+6)))/,6) 242 = ((6*(6+(6*6)))-(6/,6)) 243 = (6+((6*(,6*66))-,6)) 244 = (,6...*(6+(6*(66-6)))) 245 = ((((6)!+((6)!+66))/6)-6) 246 = (66+(6*((6*6)-6))) 247 = (66+((6+((6)!/,6...))/6)) 248 = (6*(6+(6*(6-(,6.../6))))) 249 = (,6+(6*(6+((6*6)-,6)))) 250 = (((6*(6*6))-66)/,6) 251 = ((6*(6+(6*6)))-(6/6))
Autres puzzles similaires
On peut concevoir d’autres variantes du jeu en remplaçant le quatuor de 4 par tout autre ensemble de chiffres, par exemple ceux qui composent une année de naissance : 1, 9, 6 et 5 pour 1965.