Produit de Kronecker

En mathématiques, le produit de Kronecker est une opération portant sur les matrices. Il s'agit d'un cas particulier du produit tensoriel. Il est ainsi dénommé en hommage au mathématicien allemand Leopold Kronecker.

Définition formelle

Soient Modèle:Mvar une matrice de taille m x n et Modèle:Mvar une matrice de taille p x q. Leur produit tensoriel est la matrice Modèle:Math de taille mp par nq, définie par blocs successifs de taille p x q, le bloc d'indice i,j valant Modèle:Math

En d'autres termes

$A\otimes B=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}B& \cdots & a_{1n}B\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}B& \cdots & a_{mn}B\end{array}\right)$

Ou encore, en détaillant les coefficients,

$A\otimes B=\left(\begin{array}{cccccccccc}{a}_{11}{b}_{11}& a_{11}{b}_{12}& \cdots & a_{11}{b}_{1q}& \cdots & \cdots & a_{1n}{b}_{11}& a_{1n}{b}_{12}& \cdots & a_{1n}{b}_{1q}\\ a_{11}{b}_{21}& a_{11}{b}_{22}& \cdots & a_{11}{b}_{2q}& \cdots & \cdots & a_{1n}{b}_{21}& a_{1n}{b}_{22}& \cdots & a_{1n}{b}_{2q}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& & & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{11}{b}_{p1}& a_{11}{b}_{p2}& \cdots & a_{11}{b}_{pq}& \cdots & \cdots & a_{1n}{b}_{p1}& a_{1n}{b}_{p2}& \cdots & a_{1n}{b}_{pq}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& \ddots & & ⋮& ⋮& & ⋮\\ ⋮& ⋮& & ⋮& & \ddots & ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}{b}_{11}& a_{m1}{b}_{12}& \cdots & a_{m1}{b}_{1q}& \cdots & \cdots & a_{mn}{b}_{11}& a_{mn}{b}_{12}& \cdots & a_{mn}{b}_{1q}\\ a_{m1}{b}_{21}& a_{m1}{b}_{22}& \cdots & a_{m1}{b}_{2q}& \cdots & \cdots & a_{mn}{b}_{21}& a_{mn}{b}_{22}& \cdots & a_{mn}{b}_{2q}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& & & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}{b}_{p1}& a_{m1}{b}_{p2}& \cdots & a_{m1}{b}_{pq}& \cdots & \cdots & a_{mn}{b}_{p1}& a_{mn}{b}_{p2}& \cdots & a_{mn}{b}_{pq}\end{array}\right)$

Exemple

Comme le montre l'exemple ci-dessous, le produit de Kronecker de deux matrices consiste à recopier plusieurs fois la deuxième matrice, en la multipliant par le coefficient correspondant à un terme de la première matrice.

$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 1& 0& 0\\ 1& 2& 2\end{array}\right)\otimes \left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right)& 3\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right)& 2\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right)\\ 1\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right)& 0\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right)& 0\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right)\\ 1\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right)& 2\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right)& 2\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 5& 0\\ 1& 1\end{array}\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}0& 5& 0& 15& 0& 10\\ 5& 0& 15& 0& 10& 0\\ 1& 1& 3& 3& 2& 2\\ 0& 5& 0& 0& 0& 0\\ 5& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 5& 0& 10& 0& 10\\ 5& 0& 10& 0& 10& 0\\ 1& 1& 2& 2& 2& 2\end{array}\right)$

Propriétés

Bilinéarité, associativité

Le produit de Kronecker est bilinéaire et associatif : sous réserve de compatibilité des tailles pour Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, on a les équations suivantes :

$A\otimes (B+\lambda \cdot C)=(A\otimes B)+\lambda (A\otimes C)$

$(A+\lambda \cdot B)\otimes C=(A\otimes C)+\lambda (B\otimes C)$

$A\otimes (B\otimes C)=(A\otimes B)\otimes C$

Le produit de Kronecker n'est pas commutatif ; cependant pour toutes Modèle:Mvar et Modèle:Mvar il existe deux matrices de permutation Modèle:Mvar et Modèle:Mvar telles que Modèle:Math. Si de plus Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont carrées et de même taille, alors Modèle:Math et Modèle:Math sont semblables par permutation sur les vecteurs de la base :

$A\otimes B=P^{-1}(B\otimes A)P={}^{t}P(B\otimes A)P$

où Modèle:Mvar est une matrice de permutation.

Propriétés sur le produit usuel

La propriété suivante mélange les aspects liés au produit matriciel usuel et au produit de Kronecker lorsque les tailles des matrices sont telles qu'il est possible de former les produits Modèle:Mvar et Modèle:Mvar :

$(A\otimes B)(C\otimes D)=(AC)\otimes (BD)$

On peut en déduire que Modèle:Math est inversible si et seulement si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont inversibles, auquel cas :

$(A\otimes B{)}^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}$

Spectre

En utilisant la propriété précédente on déduit que si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont des vecteurs propres de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar : $AX=\lambda X$ et $BY=\mu Y$, alors :

$(A\otimes B)(X\otimes Y)=\lambda \mu (X\otimes Y)$

Donc si ${\lambda }_1,...,{\lambda }_n$ et ${\mu }_1,...,{\mu }_m$ sont les valeurs propres de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, alors $\{{\lambda }_i\cdot {\mu }_j,i=1...n,j=1...m\}$ sont les valeurs propres de Modèle:Math, en comptant la multiplicité.

En particulier :

$\mathrm{Tr}(A\otimes B)=\mathrm{Tr}(A)\mathrm{Tr}(B)$

$\det (A\otimes B)=\det (A{)}^m\det (B{)}^n$

$\mathrm{rg}(A\otimes B)=\mathrm{rg}(A)\mathrm{rg}(B)$

où Modèle:Math désigne la trace, Modèle:Math le déterminant et Modèle:Math le rang de la matrice.

Transposition

On a la propriété suivante sur la transposée :

${}^t(A\otimes B)={}^{t}A\otimes {}^{t}B$