Produit direct

La plupart des structures algébriques permettent de construire de façon très simple une structure produit sur le produit cartésien des ensembles sous-jacents. Plus généralement, Modèle:Refsou. C'est le cas de la topologie produit dans la catégorie des espaces topologiques.

Produit direct de deux magmas

Soient E un ensemble muni d'une loi de composition interne ${*}_E$ et F un ensemble muni d'une loi de composition interne ${*}_F$. On peut définir une loi de composition interne $*$ sur le produit cartésien E×F de la façon suivante :

$(x,y)*(x^{\prime },y^{\prime })=(x{*}_E{x}^{\prime },y{*}_F{y}^{\prime }).$

Propriétés

• Si ${*}_E$ et ${*}_F$ sont associatives, alors la loi $*$ est associative.
• Si ${*}_E$ et ${*}_F$ sont commutatives, alors la loi $*$ est commutative.
• Si ${*}_E$ admet un élément neutre e et si ${*}_F$ admet un élément neutre f, alors $(e,f)$ est neutre pour $*$.
  • Si de plus x admet un symétrique x' pour ${*}_E$ et si y admet un symétrique y' pour ${*}_F$, alors (x, y) admet (xModèle:', yModèle:') comme symétrique.

Produit direct de magmas

Soit (EModèle:Ind)Modèle:Ind une famille d'ensembles, chaque EModèle:Ind étant muni d'une loi de composition interne ${\star }_i$. On peut définir une loi de composition interne $*$ sur le produit cartésien ∏Modèle:Ind EModèle:Ind de la façon suivante :

$(x_i{)}_{i\in I}*(x{\text{'}}_i{)}_{i\in I}=(x_i{\star }_{i}x{\text{'}}_i{)}_{i\in I}$

Cette construction est valable que I soit un ensemble fini ou infini.

Propriétés

• Si chaque loi ${\star }_i$ est associative, la loi $*$ est associative.
• Si chaque loi ${\star }_i$ est commutative, la loi $*$ est commutative.
• Si chaque loi ${\star }_i$ possède un élément neutre eModèle:Ind (respectivement neutre à droite, respectivement neutre à gauche), la famille (eModèle:Ind)Modèle:Ind est neutre (respectivement neutre à droite, respectivement neutre à gauche) pour $*$.
• Si chaque loi ${\star }_i$ possède un élément neutre et si dans chaque EModèle:Ind, un élément quelconque xModèle:Ind possède un symétrique (respectivement symétrique à droite, respectivement symétrique à gauche) yModèle:Ind, alors la famille (xModèle:Ind)Modèle:Ind admet la famille (yModèle:Ind)Modèle:Ind comme symétrique (respectivement symétrique à droite, respectivement symétrique à gauche).

En particulier, le produit direct d'une famille de groupes est un groupe. Modèle:Article détaillé

Produit direct d'anneaux

Modèle:Voir Soit (EModèle:Ind)Modèle:Ind une famille d'ensembles, chaque EModèle:Ind étant muni de deux lois ${+}_i$ et ${*}_i$. On peut comme précédemment définir une loi $+$, produit direct des ${+}_i$ et une loi $*$, produit direct des lois ${*}_i$.

Si chaque loi ${*}_i$ est distributive par rapport à la loi ${+}_i$, alors la loi $*$ est distributive par rapport à la loi $+$.

En particulier, si chaque EModèle:Ind est muni d'une structure d'anneau, on construit ainsi un anneau produit direct.

Produit direct d'espaces vectoriels

Soit une famille (EModèle:Ind)Modèle:Ind d'espaces vectoriels sur un même corps K. Les lois suivantes font du produit cartésien ∏Modèle:Ind EModèle:Ind un K-espace vectoriel, appelé produit de la famille (EModèle:Ind)Modèle:Ind :

$(u_i{)}_{i\in I}+(v_i{)}_{i\in I}=(u_i+v_i{)}_{i\in I},\lambda (u_i{)}_{i\in I}=(\lambda u_i{)}_{i\in I}.$

Le vecteur nul est la famille (0)Modèle:Ind formée par les vecteurs nuls des espaces EModèle:Ind.

Lorsque tous les EModèle:Ind sont égaux à un même K-espace vectoriel E (par exemple à K, vu comme K-droite vectorielle), ∏Modèle:Ind EModèle:Ind est l'[[Exemples d'espaces vectoriels#Espaces fonctionnels|espace vectoriel EModèle:Exp]] des applications de I dans E.

Article connexe

Somme directe