Produit intérieur

Modèle:Ébauche En géométrie différentielle, le produit intérieur est une opération élémentaire sur les formes différentielles, que l'on construit à partir d'un champ de vecteurs.

Plus précisément, si $X$ est un champ de vecteurs sur une variété différentielle $M$ et si ${\mathrm{\Omega }}^p(M)$ désigne l'ensemble des formes différentielles de degré $p$ sur $M$ alors le produit intérieur par $X$ est l'opérateur

${\iota }_X:{\mathrm{\Omega }}^p(M)\to {\mathrm{\Omega }}^{p-1}(M)$

défini par : pour tous champs de vecteurs $Y_1,\dots ,Y_{p-1}$ sur $M$,

$({\iota }_X\omega )(Y_1,\dots ,Y_{p-1})=\omega (X,Y_1,\dots ,Y_{p-1})$.

C'est une antidérivation de l'algèbre extérieure, i.e., si α est une p-forme et β une forme de degré quelconque :

${\iota }_X(\alpha \wedge \beta )={\iota }_X\alpha \wedge \beta +(-1{)}^p\alpha \wedge {\iota }_X\beta$.

Voir aussi

• Contraction tensorielle