Produit tensoriel de deux applications linéaires

Le produit tensoriel de deux applications linéaires est une construction qui à deux applications linéaires entre A-modules, u de EModèle:Ind dans FModèle:Ind et v de EModèle:Ind dans FModèle:Ind, associe une application linéaire u⊗v entre produits tensoriels, de EModèle:Ind⊗Modèle:IndEModèle:Ind dans FModèle:Ind⊗Modèle:IndFModèle:Ind.

Définition

On suppose dans cette partie que l'anneau A est commutatif. Avec les notations de l'introduction, l'application

est A-bilinéaire. D'après la propriété universelle du produit tensoriel, il existe une unique application linéaire $\phi (u,v):E_1{\otimes }_A{E}_2\to F_1{\otimes }_A{F}_2$ telle que

De plus, l'application $\phi$ de l'espace ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_A(E_1,F_1)\times {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_A(E_2,F_2)$ dans le module ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_A(E_1{\otimes }_A{E}_2,F_1{\otimes }_A{F}_2)$ est bilinéaire ; il existe donc une application linéaire canonique

$\psi :{\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_A(E_1,F_1){\otimes }_A{\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_A(E_2,F_2)\to {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_A(E_1{\otimes }_A{E}_2,F_1{\otimes }_A{F}_2)$

telle que

L'application $\phi (u,v)$ de $E_1{\otimes }_A{E}_2$ dans $F_1{\otimes }_A{F}_2$ s'appelle le produit tensoriel de u et v, et il se note dans la pratique u⊗v. Attention, cette notation est abusive, car elle peut désigner deux objets de nature différente :

• l'élément du produit tensoriel ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_A(E_1,F_1){\otimes }_A{\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_A(E_2,F_2)$ (qui n'est pas une application linéaire),
• son image par ψ dans ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_A(E_1{\otimes }_A{E}_2,F_1{\otimes }_A{F}_2)$ (l'application A-linéaire $\phi (u,v)$).

D'autant plus que ψ n'est pas toujours un isomorphisme, si bien qu'il est impossible d'identifier les deux « u⊗v ».

Néanmoins, lorsque EModèle:Ind et EModèle:Ind sont des modules libres de rang fini (par exemple des espaces vectoriels de dimension finie), ψ est un isomorphisme, et cela a bien un sens de confondre les deux notations u⊗v. En particulier, ψ fournit, sous cette hypothèse, des isomorphismes canoniques de [[Dual d'un module|EModèle:Ind*]]⊗Modèle:IndEModèle:Ind* dans (EModèle:Ind⊗Modèle:IndEModèle:Ind)* et de EModèle:Ind*⊗Modèle:IndFModèle:Ind dans HomModèle:Ind(EModèle:Ind, FModèle:Ind).

Propriétés

• Si $E_1,E_2,F_1,F_2,G_1,G_2$ sont six modules, et si on se donne des applications linéaires $u_i:E_i\to F_i$, $v_i:F_i\to G_i$, alorsModèle:Retrait
• Si $u_i$ est un isomorphisme de $E_i$ sur $F_i$ et $v_i$ est l'isomorphisme réciproque, alorsModèle:Retrait