Propagateur de l'oscillateur harmonique

Le propagateur de l'oscillateur harmonique est une expression dérivée à partir du formalisme des intégrales de chemin de Feynman en mécanique quantique non-relativiste qui permet de calculer l'amplitude de probabilité qu'une particule en un point $x_0$ soumise à un potentiel de l'oscillateur harmonique quantique se retrouve à un certain point $x_T$ dans l'espace après un certain temps $T$. En ce sens, il s'agit donc d'une fonction de Green de l'équation de Schrödinger.

Pour un oscillateur harmonique décrit par le Lagrangien suivant :

$ℒ=\frac{1}{2}{\dot{x}}^2-\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$

le propagateur de Feynman a l'expression suivante :

$U(T,x_T,0,x_0)=Z_{OH}=\sqrt{\frac{m\omega }{2\pi i\hslash sin(\omega T)}}{e}^{\frac{im\omega }{2\hslash sin(\omega T)}((x_T^2+x_0^2)cos(\omega T)-2x_0{x}_T)}$.

Note : en raison de l'équivalence de la description de la mécanique quantique non-relativiste par le formalisme des intégrales de chemin de Feynman et l'équation de Schrödinger, cette expression permet également de retrouver le spectre d'énergie habituel de l'oscillateur harmonique.

$E_n=\hslash \omega (n+\frac{1}{2})$.

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