Quadrilatère complet

Quadrilatère complet formé par les 4 droites (AB), (BC), (CD), (DA) et leurs 6 points d'intersection ABCDEF. Les trois diagonales sont (AC), (BD) et (EF).

Un quadrilatère complet est une figure de géométrie plane constituée de quatre droites dont deux quelconques ne sont pas parallèles ni trois quelconques concourantes.

Une autre manière de définir un quadrilatère complet est de compléter un quadrilatère convexe ABCD par le point E intersection des droites (AB) et (CD) et le point F intersection des droites (AD) et (BC).

Les intersections de ces quatre droites donnent six sommets. L'intersection de deux droites et l'intersection des deux autres droites sont des sommets opposés. Le segment joignant deux sommets opposés est une diagonale. Il y a trois diagonales dans un quadrilatère complet.

Cette figure est très liée à la géométrie projective et fut étudiée dès le Modèle:S- par Ménélaüs puis Pappus d'Alexandrie.

Propriétés

Une division harmonique sur les diagonales

Chacune des trois diagonales (BD), (EF) et (AC) est divisée harmoniquement par les deux autres.

Chaque diagonale coupe les deux autres en créant des divisions harmoniques. De manière plus explicite la diagonale (BD) est coupée par les diagonales (AC) et (EF) en I et J tels que

$\frac{\overline{IB}}{\overline{ID}}:\frac{\overline{JB}}{\overline{JD}}=-1.$

De même si K est l'intersection des diagonales (AC) et (EF) :

$\frac{\overline{JE}}{\overline{JF}}:\frac{\overline{KE}}{\overline{KF}}=-1,\frac{\overline{KA}}{\overline{KC}}:\frac{\overline{IA}}{\overline{IC}}=-1.$

C'est un avatar projectif de la propriété des diagonales du parallélogramme (cas où l'une des diagonales du quadrilatère complet est la droite à l'infini dans le plan projectif vu comme plan affine complété), à savoir qu'elles se coupent en leur milieu (cas limite de division harmonique).

On en donne une première démonstration géométrique, qui utilise les propriétés des faisceaux harmoniques : la propriété caractéristique qui est que toute sécante à un faisceau harmonique est découpée suivant une division harmonique, et l'existence et l'unicité d'une quatrième harmonique.

Cette propriété peut aussi se déduire du théorème de Ménélaüs et du théorème de Ceva, ou permettre de démontrer l'un de ces théorèmes à partir de l'autre.

La droite de Newton

La droite de Newton (IJK).

Les milieux des trois diagonales sont alignés sur une droite appelée droite de Newton. Modèle:Clr

Théorème de Miquel

Illustration du théorème de Miquel : les cercles circonscrits aux quatre triangles inclus dans le quadrilatère complet passent par le même point (en noir).

Les cercles circonscrits aux triangles (EAD), (EBC), (FAB) et (FDC) sont concourants. Modèle:Clr

Théorème d'Urquhart

Découvert par le mathématicien australien M. L. Urquhart (1902-1966) alors qu'il travaillait sur des concepts fondamentaux de la théorie de la relativité spéciale, celui-ci l'a surnommé « théorème le plus élémentaire de la géométrie euclidienne », puisqu'il n'implique que les concepts de droite et de distance.

Avec les notations de l'article, le théorème s'énonce ainsi : Modèle:Théorème

Modèle:DémonstrationVoir d'autres démonstrations ici.

Utilisation remarquable

Le dual du quadrilatère complet est le quadrangle complet.

Le quadrangle complet inscrit dans une conique est très utile pour démontrer certaines propriétés des tangentes et des polaires dans une conique.

Voir aussi

Bibliographie

• Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009 Modèle:ISBN
• Petite encyclopédie de mathématique, éd. Didier
• Jean Fresnel, Méthodes modernes en géométrie
• Bruno Ingrao, Coniques affines, euclidiennes et projectives, Calvage & Mounet Modèle:ISBN

Articles connexes

• Quadrangle complet

Liens externes

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