Quotient isopérimétrique
Le quotient isopérimétrique ou coefficient isopérimétrique est une grandeur sans dimension permettant d'évaluer la rondeur ou la sphéricité d'une surface ou d'un solide. Il dépend de la forme de l'objet étudié et non de sa taille (invariance d'échelle). Ce quotient est un descripteur de forme classiquement utilisé en analyse de forme.
Initialement défini dans le plan pour comparer deux surfaces ayant un même périmètre, il est lié à tous les problèmes d'isopérimétrie.
La notion se généralise ensuite aux espaces supérieurs en conservant le même nom.
Dans les sources, on rencontre plusieurs expressions non équivalentes du quotient isopérimétrique.
Dans le plan
On considère une surface Modèle:Math mesurable ayant une frontière rectifiable, c'est-à-dire qu'elle est d'aire finie et que son périmètre est de longueur finie.
Définition en référence au disque
Le quotient isopérimétrique de S peut être défini comme le rapport entre l'aire de la surface et l'aire de la surface maximale obtenue pour le même périmètre[1] . C'est alors toujours un nombre compris entre 0 et 1, qui atteint 1 quand la surface est un disque[2].
Si Modèle:Math est l'aire de S et Modèle:Math son périmètre, le quotient isopérimétrique qModèle:Ind est égal à[3] : Modèle:Retrait
Exemple : le quotient isopérimétrique d'un polygone régulier à Modèle:Math côtés est[3]: Modèle:Retrait Lorsque n tend vers l'infini, ce quotient tend vers 1. On retrouve l'idée qu'un polygone régulier à Modèle:Math côtés "ressemble" de plus en plus à un disque lorsque n augmente.
Définition par comparaison de l'aire et du périmètre
Le quotient isopérimétrique peut d'autre part être défini comme le rapport entre le carré du périmètre et l'aire[4], Modèle:Retrait Avec cette nouvelle acception, le quotient isopérimétrique atteint un minimum de Modèle:Math pour le disque et peut prendre des valeurs infiniment grandes quand l'aire de S tend vers 0 et que son périmètre reste constant.
Dans l'espace
Pour un solide Modèle:Math de volume Modèle:Math et de surface Modèle:Math, on retrouve les deux définitions
- En référence à la boule[5]:
- Par comparaison entre le volume et la surface[4]:
Le quotient Modèle:Math varie de 0 à 1 et atteint son maximum pour la boule. Le quotient Modèle:Math varie de Modèle:Math à l'infini et atteint son minimum pour la boule.
Le quotient isopérimétrique d'un solide ne doit pas être confondu avec son rapport aire-volume.
Dimensions supérieures
Pour un compact Modèle:Math dans un espace euclidien de dimension Modèle:Math muni de la mesure de Lebesgue, le quotient isopérimétrique est souvent défini par l'égalité[6]: Modèle:Retrait où est la frontière de K.
Ce quotient atteint son minimum pour la boule.
On trouve parfois, une troisième définition du quotient isopérimétrique[7] : Modèle:Retrait
Notes et références
Voir aussi
- Graphe expanseur pour une définition du nombre isopérimétrique dans le cadre de la théorie des graphes
- ↑ «Isoperimetric quotient (IQ) number of a closed curve», The Concise Oxford Dictionary of Mathematics (4)
- ↑ Voir théorème isopérimétrique
- ↑ 3,0 et 3,1 Eric W. Weisstein, «Isoperimetric quotient», CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, 2002 p. 1546
- ↑ 4,0 et 4,1 Chakerian, G. D. “The Isoperimetric Quotient: Another Look at an Old Favorite.” The College Mathematics Journal, vol. 22, no. 4, 1991, pp. 313–315. [www.jstor.org/stable/2686234 JSTOR]
- ↑ Kremer, Hermann and Weisstein, Eric W. «Isoperimetric Quotient From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
- ↑ Peter M. Gruber, Convex and discrete Geometry, Springer Science & Business Media, 2007, p. 203
- ↑ Examen de Master 2 de Mathématiques de la modélisation, Université Pierre et Marie Curie, 2018