Règle de dérivation des fonctions réciproques

En analyse, la règle de dérivation des fonctions réciproques est une formule qui explicite la dérivée de la réciproque d'une fonction bijective et dérivable $f$ en fonction de la dérivée de $f$. Autrement dit, si $f^{-1}$ est la réciproque de $f$ , et que $f^{-1}\left(y\right)=x$ si et seulement si $f\left(x\right)=y$, alors dans la notation de Lagrange,

$\left[f^{-1}\right](a)=\frac{1}{f^{\prime }\left(f^{-1}\left(a\right)\right)}$.

Cette formule vaut dès lors que $f$ est continue et injective sur un intervalle $I$, $f$ étant dérivable en $f^{-1}\left(a\right)$ ($\in I$) avec $f^{\prime }\left(f^{-1}\left(a\right)\right)\ne 0$ .

Démonstration

Démonstration analytique

Soient $f$ et $f^{-1}$deux fonctions dérivables réciproques, avec $f^{-1}\left(x_0\right)=y_0$. Alors en appliquant la définition de la dérivée comme limite du taux d'accroissement, on déduit :

$\begin{array}{cc}\left(f^{-1}\right)\left(x_0\right)& =\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{-1}\left(x\right)-f^{-1}\left(x_0\right)}{x-x_0}\\ & =\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{-1}\left(x\right)-f^{-1}\left(x_0\right)}{f\left(f^{-1}\left(x\right)\right)-f\left(f^{-1}\left(x_0\right)\right)}.\end{array}$

Or, $f^{-1}$ est continue, donc $y$ tend vers $y_0$ lorsque $x$ tend vers $x_0$ :

$\begin{array}{cc}\left(f^{-1}\right)\left(x_0\right)& =\underset{y\to y_0}{\lim }\frac{y-y_0}{f\left(y\right)-f\left(y_0\right)}\\ & =\frac{1}{f^{\prime }\left(y_0\right)}\\ & =\frac{1}{f^{\prime }\left(f^{-1}\left(x_0\right)\right)}.\end{array}$

Démonstration par le théorème de dérivation des fonctions composées

Soient $f$ et $f^{-1}$deux fonctions dérivables réciproques, on a alors :

$f\circ f^{-1}\left(x\right)=x\Rightarrow (f\circ f^{-1})(x)=1$.

Or, d'après le théorème de dérivation des fonctions composées :

$(f\circ f^{-1})(x)=\left(f^{-1}\right)(x)\times (f^{\prime }\circ f^{-1}(x))$.

Donc, en isolant $\left(f^{-1}\right)\left(x\right)$, on déduit :

$\left(f^{-1}\right)\left(x\right)=\frac{1}{f^{\prime }\circ f^{-1}\left(x\right)}$.

Il convient de préciser que cette "démonstration" n'est qu'un moyen mnémotechnique pour se souvenir de la formule et ne prouve pas la dérivabilité de $f^{-1}$, puisqu'on admet lors de l'utilisation de la formule des dérivées composées que $f^{-1}$ est dérivable.