Régularisation de Hadamard

En mathématiques, la régularisation de Hadamard (également appelée partie finie de Hadamard) est une méthode de régularisation d'intégrales divergentes en supprimant certains termes divergents et en conservant la partie finie, introduite par Modèle:Harvsp. Modèle:Harvsp a montré que cela peut être interprété comme prenant le prolongement méromorphe d'une intégrale convergente.

Si l'intégrale de la valeur principale de Cauchy$$𝒞\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{f(t)}{t-x}\mathrm{d}t(\text{pour }a<x<b)$$existe, alors elle peut être dérivée par rapport à Modèle:Mvar pour obtenir l'intégrale de la partie finie de Hadamard comme suit :$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(𝒞\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{f(t)}{t-x}\mathrm{d}t\right)=\mathscr{H}\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{f(t)}{(t-x{)}^2}\mathrm{d}t(\text{ pour }a<x<b).$$On note que les symboles $𝒞$ et $\mathscr{H}$ sont utilisés ici pour désigner respectivement la valeur principale de Cauchy et les intégrales de partie finie de Hadamard.

L'intégrale de la partie finie de Hadamard ci-dessus (pour Modèle:Formule ) peut également être donnée par les définitions équivalentes suivantes :$$\mathscr{H}\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{f(t)}{(t-x{)}^2}\mathrm{d}t=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\{\underset{a}{\overset{x-\epsilon }{\int }}\frac{f(t)}{(t-x{)}^2}\mathrm{d}t+\underset{x+\epsilon }{\overset{b}{\int }}\frac{f(t)}{(t-x{)}^2}\mathrm{d}t-\frac{f(x+\epsilon )+f(x-\epsilon )}{\epsilon }\},$$$$\mathscr{H}\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{f(t)}{(t-x{)}^2}\mathrm{d}t=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\{\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{(t-x{)}^{2}f(t)}{((t-x{)}^2+{\epsilon }^2{)}^2}\mathrm{d}t-\frac{\pi f(x)}{2\epsilon }-\frac{f(x)}{2}(\frac{1}{b-x}-\frac{1}{a-x})\}.$$Les définitions ci-dessus peuvent être dérivées en supposant que la fonction Modèle:Formule est infiniment dérivable en Modèle:Formule, c'est-à-dire en supposant que Modèle:Formule peut être représenté par sa série de Taylor autour de Modèle:Formule . Pour plus de détails, voir Modèle:Harvsp. (Il faut remarquer que le terme Modèle:Formule dans la deuxième définition manque mais est corrigée dans l'erratum du livre).

Les équations intégrales contenant des intégrales de partie finie de Hadamard (avec Modèle:Formule inconnue) sont appelées équations intégrales hypersingulières. Les équations intégrales hypersingulières apparaissent dans la formulation de nombreux problèmes de mécanique, comme dans l'analyse des fractures.

Références

• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Article.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Article.
• Modèle:Article.
• Modèle:Article