Raisonnement par disjonction de cas

Modèle:À sourcer Modèle:À prouver Le raisonnement par disjonction de cas est une forme de preuve directe qui consiste à décomposer la proposition que l'on cherche à démontrer en un nombre fini de cas (sous-propositions) vérifiés indépendamment.

Exemple

Proposition : Pour tout $n\in \mathbb{N}$, $\frac{n(n+1)}{2}$ est un entier.

Démonstration : on peut séparer deux cas, $n$ est pair et $n$ est impair :

• Si $n$ est pair alors $n=2k$ avec $k\in \mathbb{N}$ et alors $\frac{n(n+1)}{2}=\frac{2k(2k+1)}{2}=k(2k+1)$ ce qui est entier.
• Si $n$ est impair, alors $n=2k+1$ avec $k\in \mathbb{N}$ et alors $\frac{n(n+1)}{2}=\frac{(2k+1)(2k+2)}{2}=\frac{2(k+1)(2k+1)}{2}=(k+1)(2k+1)$ ce qui est aussi entier.

Ainsi dans les deux cas $\frac{n(n+1)}{2}$ est entier, donc c'est vrai pour tout $n\in \mathbb{N}$.Modèle:Portail