Relation d'Amoroso-Robinson

La relation d'Amoroso-Robinson, tenant son nom des économistes Luigi Amoroso et Joan Robinson, décrit la relation entre prix, revenu marginal et élasticité de la demande : $R_m=p\times (1-\frac{1}{|{\epsilon }_{x,p}|}),$

où :

• $R_m$ est le revenu marginal,
• $x$ est une quantité de bien,
• $p$ est le prix de ce bien,
• ${\epsilon }_{x,p}$ est l'élasticité-prix de la demande.

Démonstration

On note $p(x_i)$ le prix d'un bien et $x_i$ la quantité de ce bien. On remarque que n'étant pas en condition de concurrence pure et parfaite, le prix n'est pas une constante. On peut ainsi exprimer le revenu total $R_t(x_i)=x_i.p(x_i)$. On exprime ensuite le revenu marginal, qui est la dérivée du revenu total : $R_m(x_i)=p(x_i)+x_i.p^{\prime }(x_i)$. En factorisant dans le membre de droite, on obtient :

$$R_m(x_i)=p(x_i)\times (1+\frac{x_i\cdot p^{\prime }(x_i)}{p(x_i)}).$$

En notation de Leibniz, on a : $\frac{x_i\times p^{\prime }(x_i)}{p(x_i)}=p^{\prime }(x_i)\times \frac{x_i}{p}=\frac{dp}{d{x}_i}\times \frac{x_i}{p}$

En exprimant $x_i$ en fonction de la demande que l'on note $D_i$, on obtient : $\frac{D_i\times p^{\prime }(D_i)}{p(D_i)}=\frac{dp}{d{D}_i}\times \frac{D_i}{p}$.

On exprime désormais l'élasticité-prix ${\epsilon }_{x,p}$ du prix $p(x_i)$ de la demande $D_i$ par ${\epsilon }_x,p=\frac{d{D}_i}{dp}\times \frac{p}{D_i}$. On remarque alors que $\frac{D_i\times p^{\prime }(D_i)}{p(D_i)}=\frac{1}{{\epsilon }_x,p}$.

En vertu de la loi de la demande, l'élasticité est strictement négative : ${\epsilon }_{x,p}<0$, on adopte donc la notation en valeur absolue qui donne : $\frac{D_i\times p^{\prime }(D_i)}{p(D_i)}=-\frac{1}{|{\epsilon }_x,p|}$.

Finalement, on a bien : $$R_m(x_i)=p(x_i)\times (1+\frac{x_i\times p^{\prime }(x_i)}{p(x_i)})=p(x_i)\times (1-\frac{1}{|{\epsilon }_{x,p}|})$$d'où $$R_m=p\times (1-\frac{1}{|{\epsilon }_{x,p}|}).$$

Notes et références

Bibliographie

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