Relation de Schrödinger-Robertson

La relation de Schrödinger-Robertson est une généralisation de l'inégalité de Heisenberg formalisée dès 1930 par Howard Percy Robertson, puis complétée par Erwin Schrödinger.

Énoncé

Soient deux observables A et B et les opérateurs hermitiens $\hat{A}$ et $\hat{B}$ correspondants. Pour un état $|\psi ⟩$ donné, le produit des écarts types $\mathrm{\Delta }A$ et $\mathrm{\Delta }B$ vérifie :

$\mathrm{\Delta }A\cdot \mathrm{\Delta }B\ge \sqrt{\frac{1}{4}{\left|{⟨[\hat{A},\hat{B}]⟩}_{\psi }\right|}^2+\frac{1}{4}{\left|{⟨\{\hat{A}-⟨\hat{A}{⟩}_{\psi },\hat{B}-⟨\hat{B}{⟩}_{\psi }\}⟩}_{\psi }\right|}^2}$

où :

• $⟨{⟩}_{\psi }$ désigne la moyenne sur l'état $|\psi ⟩$ ;
• $[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}$ désigne le commutateur de $\hat{A}$ et $\hat{B}$ ;
• $\{\hat{A},\hat{B}\}=\hat{A}\hat{B}+\hat{B}\hat{A}$ désigne l'anticommutateur de $\hat{A}$ et $\hat{B}$.

Applications

La relation de Schrödinger-Robertson fournit une équation d'incertitude pour tout couple d'observables ne commutant pas, notamment :

• La position et le moment d'une particule :

$\mathrm{\Delta }{x}_i\mathrm{\Delta }{p}_i\ge \frac{\hslash }{2}$

• L'énergie et la position d'une particule dans un potentiel unidimensionnel $V(x)$ :

$\mathrm{\Delta }E\mathrm{\Delta }x\ge \frac{\hslash }{2m}\left|⟨p_x⟩\right|$

• Le nombre d'électrons d'un supraconducteur et la phase de son paramètre d'ordre de Ginzburg-LandauModèle:, :

$\mathrm{\Delta }N\mathrm{\Delta }\varphi \ge 1$

Voir aussi

• Mécanique quantique
• Principe d'incertitude