Relation de Sylvester dans le triangle

En géométrie, la relation de Sylvester, portant le nom de James Joseph Sylvester, est une relation vectorielle entre le centre du cercle circonscrit d'un triangle et son orthocentre.

Énoncé

Soit $O$ le centre du cercle circonscrit au triangle $(ABC)$, $H$ son orthocentre. La relation de Sylvester s'écrit Modèle:, :

$\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$.

Comme le centre de gravité $G$ du triangle vérifie $3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$, cette relation est en fait équivalente à la relation vectorielle d'Euler : $\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}$.

Démonstration

Soit $X$ le point défini par $\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$, et $I$ le projeté de $O$ sur $[BC]$ , qui est aussi le milieu de $[BC]$.

Alors $\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AX}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OI}$ ;

$\overrightarrow{AX}$ est donc orthogonal à $\overrightarrow{BC}$, et $X$ se trouve sur la hauteur issue de Modèle:Formule.

Par symétrie, $X$ se trouve donc sur les trois hauteurs, et $X$ n'est autre que l'orthocentre $H$, CQFD.

Liens externes

• Weisstein, Eric W. "Sylvester's Triangle Problem" . MathWorld .
• Darij Grinberg: Solution to American Mathematical Monthly Problem 11398 par Stanley Huang