Roulement sur un plan incliné

Soit un corps cylindrique de masse M (kg), de centre de gravité $G$, de rayon $R$ (m), roulant sans glisser sur un plan incliné d’un angle $\alpha$ avec l’horizontale, à une vitesse de translation $V$ (m/s) et de rotation $\omega$ (rad/s), le coefficient de résistance au roulement est $\mu$.

• Ce corps cylindrique engendre des actions statiques dues à sa masse et des réactions du plan sur lequel il repose.
• En mouvement, ce corps engendre des actions dynamiques qui lui sont propres et un couple résistant au roulement dû au contact avec le plan incliné sur lequel il se déplace.

Actions statiques

Actions du corps sur le plan

La fig.1 représente la décomposition de $\overrightarrow{M}$ en deux composantes : la composante $\overrightarrow{F}$ parallèle au plan, la force $\overrightarrow{N}$ normale au plan au point de contact « a » et la réaction $\overrightarrow{P}$ du plan.

$\overrightarrow{F}=|\overrightarrow{M}|\sin \alpha$

$\overrightarrow{N}=|\overrightarrow{M}|\cos \alpha$

$\overrightarrow{P}=-\overrightarrow{N}$.

Réactions du plan

Dans la figure 3, le plan s’oppose au roulement selon une force $\overrightarrow{T}$ qui est la réaction du plan, dont le coefficient de résistance au roulement est $\mu$.

Le couple résistant sera $\overrightarrow{T}R=\overrightarrow{N}\mu$, comme $\overrightarrow{N}=\overrightarrow{M}\cos \alpha$, nous aurons :

$\overrightarrow{T}=\frac{\mu }{R}\overrightarrow{M}\cos \alpha$,

force qui s’oppose à $\overrightarrow{F}$.

Force résultante

La force résultante qui fait rouler le corps sera ${\overrightarrow{F}}_r=\overrightarrow{F}-\overrightarrow{T}$ et comme $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{M}\sin \alpha$, nous obtenons

${\overrightarrow{F}}_r=\overrightarrow{M}\sin \alpha -\overrightarrow{M}\frac{\mu }{R}\cos \alpha$,

et en simplifiant :

${\overrightarrow{F}}_r=\overrightarrow{M}(\sin \alpha -\frac{\mu }{R}\cos \alpha )$

Actions dynamiques

Énergie cinétique de translation

c’est l’énergie produite par le corps qui se déplace par rapport à un plan (en joules).

$E=\frac{1}{2}M{v}^2$

Énergie cinétique de rotation

c’est l’énergie produite par la rotation d’un corps autour d’un axe (le plus souvent passant par son centre de gravité).

$E=\frac{1}{2}I{\omega }^2$, avec le moment d’inertie $I=kM{R}^2$, où k est un coefficient qui dépend de la forme du corps. En remplaçant $I$ par sa valeur, nous obtenons :

$E=\frac{1}{2}kM{R}^2{\omega }^2$

Énergie cinétique totale produite

c’est la somme des deux énergies précédentes.

$E=\frac{1}{2}M{V}^2+\frac{1}{2}kM{R}^2{\omega }^2$ et comme $V^2=R^2{\omega }^2$, nous obtenons :

$E=(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}k)M{V}^2$

En remplaçant k par sa valeur en fonction du corps nous obtenons (k=1/2 pour un disque plein, k=1 pour une jante et k=2/5 pour une sphère), et comme $V^2=2\overrightarrow{a}L$, où $L$ est la distance parcourue par le corps, $\overrightarrow{a}$ est l’accélération prise par le corps = $g(\sin \alpha -\frac{\mu }{R}\cos \alpha )$, nous aurons pour les 3 corps différents :

1. pour un disque plein (k=1/2), $E=\frac{3}{4}M{V}^2$, soit:
   • $E=\frac{3}{2}\overrightarrow{M}(\sin \alpha -\frac{\mu }{R}\cos \alpha )L$
2. pour une jante (k=1), $E=M{V}^2$, soit :
   • $E=2.\overrightarrow{M}(\sin \alpha -\frac{\mu }{R}\cos \alpha ).L$
3. pour une sphère (k=2/5), $E=\frac{7}{10}M{V}^2$, soit :
   • $E=\frac{7}{5}\overrightarrow{M}(\sin \alpha -\frac{\mu }{R}\cos \alpha )L$

Condition de roulement

Pour qu’il y ait mouvement

pour qu’il y ait mouvement le couple moteur $\overrightarrow{F}R$ doit être supérieur au couple résistant :

$\overrightarrow{F}R>\overrightarrow{T}R$ comme $\overrightarrow{T}R=\mu \overrightarrow{N}$, que $\overrightarrow{N}=\overrightarrow{M}\cos \alpha$ et $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{M}\sin \alpha$, nous aurons :

$\overrightarrow{M}\sin \alpha >\frac{\mu }{R}\overrightarrow{M}\cos \alpha$ et en simplifiant :

$\tan \alpha >\frac{\mu }{R}$

Pour qu’il n’y ait pas glissement

il n’y aura pas de glissement tant que $||\overrightarrow{T}||\le \mu ||\overrightarrow{N}||$, d’après la loi du frottement de Coulomb.

$\overrightarrow{T}$ dépend également de la forme $k$ des corps.

$\overrightarrow{T}=\frac{k\overrightarrow{M}\sin \alpha }{1+k}<\mu \overrightarrow{M}\cos \alpha$, d’où :

$\tan \alpha <\mu \frac{1+k}{k}$

Articles connexes

• Plan incliné