Réduction de Gauss

En algèbre, la réduction de Gauss est un algorithme qui permet d'écrire toute forme quadratique comme une combinaison linéaire de carrés de formes linéaires linéairement indépendantes (une forme quadratique est un polynôme homogène de degré 2 avec un nombre quelconque de variables ; une forme linéaire est une combinaison linéaire de ces variables).

La méthode employée est proche de la mise sous forme canonique d'une équation du second degré. Cet algorithme est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien Carl Friedrich Gauss.

Cas de deux variables

Soit Modèle:Retrait un tel polynôme, supposé non identiquement nul. Si le coefficient Modèle:Math est non nul, on procède par complétion du carré :

$q(x,y)=a(x^2+\frac{b}{a}xy)+c{y}^2=a{(x+\frac{b}{2a}y)}^2+\left(\frac{4ac-b^2}{4a}\right)y^2$

Si Modèle:Math est nul et Modèle:Math non nul, on procède de même avec Modèle:Math. Si Modèle:Math et Modèle:Math sont tous deux nuls, on remarque que Modèle:Retrait

Cas général

On va montrer par récurrence forte sur Modèle:Mvar que pour toute forme quadratique Modèle:Mvar à Modèle:Mvar variables, il existe Modèle:Mvar combinaisons linéaires Modèle:Mvar des variables (autrement dit Modèle:Mvar formes linéaires) linéairement indépendantes et Modèle:Mvar nombres Modèle:Mvar tels que

$q=\sum _{i=1}^n{c}_i{l}_i^2$.

Si Modèle:Math, il n'y a rien à démontrer.

Supposons maintenant Modèle:Math. Si Modèle:Mvar est nulle, Modèle:Math convient, avec (par exemple) Modèle:Math. Supposons donc Modèle:Mvar non nulle et écrivons-la sous la forme :

$q(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{i\le n}{a}_{ii}{x}_i^2+2\sum _{1\le i<j\le n}{a}_{ij}{x}_i{x}_j$.

On distingue deux cas.

1) L'un des coefficients $a_{ii}$ des termes carrés est non nul.

On peut, quitte à permuter les vecteurs de base, supposer que $a_{11}\ne 0$. On écrit séparément les termes où $x_1$ intervient :

$q(x)=a_{11}{x}_1^2+2\sum _{i=2}^n{a}_{1i}{x}_1{x}_i+\sum _{2\le i,j\le n}{a}_{ij}{x}_i{x}_j$.

On écrit ces derniers sous forme canonique :

$a_{11}{x}_1^2+2\sum _{i=2}^n{a}_{1i}{x}_1{x}_i=a_{11}{(x_1+\sum _{i=2}^n\frac{a_{1i}}{a_{11}}{x}_i)}^2-\frac{1}{a_{11}}{\left(\sum _{i=2}^n{a}_{1i}{x}_i\right)}^2$.

On obtient ainsi que

$q(x)=a_{11}{(x_1+\sum _{i=2}^n\frac{a_{1i}}{a_{11}}{x}_i)}^2+q^{\prime }(x)=c_1{l}_1^2(x)+q^{\prime }(x)$,

où

• $c_1=a_{11}$ et $l_1(x)=x_1+\sum _{i=2}^n\frac{a_{1i}}{a_{11}}{x}_i$ ;
• $q^{\prime }$ est un polynôme homogène de degré 2 par rapport à $x_2,\dots x_n$.

L'hypothèse de récurrence nous dit que

$q^{\prime }=\sum _{i=2}^n{c}_i{l}_i^2$,

où $l_2,\dots ,l_n$ sont des combinaisons linéaires de $x_2,\dots ,x_n$, indépendantes. La coordonnée $x_1$ n'apparaît pas dans leur écriture, et apparaît dans celle de $l_1$. Il en résulte que les formes $(l_i{)}_{1\le i\le n}$ sont encore indépendantes, d'où le résultat.

2) Tous les $a_{ii}$ sont nuls.

Puisque Modèle:Mvar est supposée non nulle, il existe des entiers Modèle:Mvar et Modèle:Mvar distincts tels que $a_{ij}=0$. Comme dans le premier cas, on peut supposer qu'il s'agit de $a_{12}$. On écrit Modèle:Retrait La somme des termes en $x_1$ ou $x_2$ s'écrit aussi Modèle:Retrait On voit que $q(x)$ est de la forme Modèle:Retrait où $q^{\prime }$ ne dépend que de $x_3,\dots x_n$. On conclut en appliquant l'hypothèse de récurrence à $q^{\prime }$, et en remarquant que $4l_1{l}_2=(l_1+l_2{)}^2-(l_1-l_2{)}^2$. L'indépendance des formes $l_i$ se montre comme dans le premier cas.

Exemples

• SoitModèle:RetraitAlors $q(x)=(x_1-x_2-x_3{)}^2-4x_2{x}_3=(x_1-x_2-x_3{)}^2-(x_2+x_3{)}^2+(x_2-x_3{)}^2$.
• Autre exemple :Modèle:RetraitOn a alorsModèle:Retrait

Remarques

• Ces calculs sont valables pour tout corps de caractéristique différente de 2.
• Le nombre de carrés est égal au rang de la forme quadratique étudiée.
• Si les coefficients sont réels, le nombre de carrés positifs, comme de carrés négatifs, ne dépend pas de la méthode employée (loi d'inertie de Sylvester).

Référence

Modèle:Berger2, vol. 2, Nathan, 1990, 13.4.8

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