Schéma de Lax-Friedrichs

Modèle:Homon Le schéma de Lax–Friedrichs, d'après Peter Lax et Kurt Friedrichs, est défini en analyse numérique comme une technique de résolution numérique des équations aux dérivées partielles de type hyperbolique, basée sur la méthode des différences finies. Cette technique repose sur l'utilisation de différence finie décentrée en temps et centrée en espace. On peut considérer le schéma de Lax–Friedrichs comme une alternative au schéma de Godunov, où l'on évite de résoudre un problème de Riemann à chaque interface de la cellule, au prix d'ajouter de la viscosité artificielle.

Illustration sur un problème linéaire

Considérons l'équation d'advection linéaire en dimension 1 d'espace et de temps, dont une solution Modèle:Math doit vérifier : Modèle:Retrait sur le domaine Modèle:Retrait avec la condition initiale Modèle:Retrait et les conditions de bords Modèle:Retrait Modèle:Retrait

La solution exacte de l'équation d'advection au temps $t⩾0$ est Modèle:Retrait

La méthode des différences finies consiste à chercher une solution discrète définie sur les points de coordonnées Modèle:Retrait avec Modèle:Retrait

On recherche alors la solution discrète Modèle:Retrait

Le schéma de Lax–Friedrichs appliqué à l'équation d'advection donne : Modèle:Retrait

On obtient alors de manière explicite l'inconnue Modèle:Math : Modèle:Retrait ce qui constitue ainsi le schéma de Lax-Friedrichs, complété par la condition initiale et les conditions de bord : Modèle:Retrait Modèle:Retrait Modèle:Retrait

Une propriété remarquable de ce schéma est qu'il découple les points « pairs » (i.e. Modèle:Math avec Modèle:Mvar pair) et « impairs » ce qui n'est pas « naturel » car les valeurs Modèle:Math et Modèle:Math devraient a priori suivre des évolutions voisines (pour une solution Modèle:Mvar régulière).

Extensions aux problèmes non linéaires

Un système hyperbolique de lois de conservation à une dimension d'espace est défini par Modèle:Retrait où $f$ est appelé fonction de flux.

Dans le cas particulier où $f(u)=au$, on retrouve un problème linéaire scalaire. Dans le cas général, $u$ est un vecteur ayant $m$ composantes. La généralisation du schéma de Lax-Friedrichs aux systèmes non linéaires prend la forme Modèle:Retrait

Ce schéma conservatif est d'ordre 1 en espace et en temps, et donc assez diffusif. On peut en revanche l'utiliser pour construire des schémas d'ordre supérieur pour résoudre des systèmes d'équations aux dérivées partielles hyperbolique, de la même façon que la méthode d'Euler sert à construire les méthodes de type Runge-Kutta plus précises pour la résolution des équations différentielles ordinaires.

Ce schéma peut être écrit sous sa forme conservative : Modèle:Retrait où Modèle:Retrait

En l'absence des termes $u_i^n$ et $u_{i-1}^n$ dans le flux discret, ${\hat{f}}_{i-1/2}^n$, on retrouve le schéma explicite centré instable .

Stabilité et précision numérique

Comparaison de solutions numériques de l'équation d'advection linéaire en dimension 1 d'espace et temps obtenues par les schémas de Lax-Friedrichs, Lax-Wendroff, Leapfrog et Upwind. La courbe en noir représente la solution exacte.

Le schéma de Lax-Friedrichs est explicite et d' ordre 1 en espace et en temps. Pour cette raison, il n'est pas beaucoup utilisé en pratique mais il sert d'exemple pour illustrer l'étude de la stabilité de Von Neumann d'un schéma numérique.

Le schéma de Lax-Friedrichs est stable pourvu que la condition suivante soit satisfaite : Modèle:Retrait

En réarrangeant les termes de l'équation (3) on obtient  : Modèle:Retrait

Sous cette forme, le schéma ressemble à un schéma de discrétisation de l'équation d'avection-diffusion : $u_t+a{u}_x=ϵu_{xx}$ avec $ϵ=\mathrm{\Delta }{x}^2/2\mathrm{\Delta }t$, et illustre ainsi le caractère diffusif du schéma et le concept de viscosité artificielle.

Une analyse plus rigoureuse consiste à injecter dans l'équation du schéma numérique les développements de Taylor de la fonction $u$ aux points utilisés par le schéma; on obtient alors l'erreur de troncature locale : Modèle:Retrait ce qui démontre au passage l'ordre 1 en temps et en espace (en ayant fixé $\mathrm{\Delta }x/\mathrm{\Delta }t$) et que le schéma de Lax-Friedrichs fournit une approximation de l'équation modifiée de type advection-diffusion $u_t+a{u}_x={ϵ}_{LF}{u}_{xx}$ avec ${ϵ}_{LF}=\frac{a\mathrm{\Delta }x}{2c}(1-c^2)$ et $c=a\frac{\mathrm{\Delta }t}{\mathrm{\Delta }x}$.

Le caractère diffusif et dispersif de plusieurs schémas numériques (dont Lax-Friedrichs) est illustré sur la figure de droite.

Références

• Modèle:Ouvrage

Voir aussi

• Mécanique des fluides numérique