Sous-espace affine engendré

En géométrie(Branche d'étude), dans un espace affine $E$, le sous-espace affine engendré par une partie non vide $A$, également dénommé l'enveloppe affine de $A$, est le plus petit sous-espace affine de $E$ contenant $A$.

Définition

Dans un espace affine, l'intersection d'une famille (non vide) de sous-espaces affines est soit l'ensemble vide, soit un sous-espace affine et l'espace lui-même est un sous-espace, ce qui justifie la définition suivante : Modèle:Énoncé

Propriétés

Soient $E$ et $F$ des espaces affines et $A$, $B$ deux parties non vides de $E$ et $C$ une partie non vide de $F$.

• $\mathrm{aff}(A)$ est égal à l'ensemble des barycentres des points de $A$.
• Si $f:E\to F$ est une application affine alors $f(\mathrm{aff}(A))=\mathrm{aff}(f(A))$.
• $\mathrm{aff}(B)\times \mathrm{aff}(C)=\mathrm{aff}(B\times C)$ (dans l'espace affine produit $E\times F$).
• $A$ et son enveloppe convexe engendrent le même sous-espace affine.
• Pour tout point $P$ de $A$, la direction de $\mathrm{aff}(A)$ est le sous-espace vectoriel engendré (dans l'espace vectoriel associé à $E$) par $\{\overrightarrow{PQ}\mid Q\in A\}$.
• $\mathrm{aff}$ est un opérateur de clôture : $A\subset \mathrm{aff}(A)$, $A\subset B\Rightarrow \mathrm{aff}(A)\subset \mathrm{aff}(B)$, et $\mathrm{aff}(\mathrm{aff}(A))=\mathrm{aff}(A)$.