Sous-espace projectif

En géométrie projective, un sous-espace projectif est une partie remarquable d'un espace projectif. Il est défini comme le projeté d'un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel associé. Contrairement à ce qui se passe en géométrie affine, il n'y a pas de phénomène de parallélisme, ce qui donne des propriétés simples d'incidence en termes de dimensions.

Définition

On suppose que $E$ est un espace vectoriel, $P(E)$ l'espace projectif associé et $\pi$ l'application de projection de $E$ sur $P(E)$.

Sous-espaces, dimension

Si $F$ est un sous-espace vectoriel non réduit à $\{0\}$, on peut encore définir l'espace projectif associé $P(F)$ sur $F$. On peut également considérer le sous-ensemble de $P(E)$ formé par les $\pi (x)$ tels que $x\in F$, c'est-à-dire l'image $\pi (F)$. Ces deux modes d'introduction sont équivalents et permettent de définir la notion de sous-espace projectif.

Lorsque le sous-espace vectoriel est de dimension k+1, on dit que le sous-espace projectif associé est de dimension k. Avec cette convention, les sous-espaces vectoriels de E de dimension k + 1 sont en correspondance bijective avec les sous-espaces projectifs de P(E) de dimension k. En particulier on appellera droite projective de $P(E)$ un sous-espace obtenu à partir d'un plan vectoriel de $E$, mais hyperplan projectif tout sous-espace projectif défini à partir d'un hyperplan vectoriel.

Dans le cas où l'espace vectoriel est défini sur le corps des réels, $P(F)$ est en fait une sous-variété de $F$, effectivement de dimension k.

Sous-espace engendré par une partie

Pour toute partie $A$ de $P(E)$ on peut définir le sous-espace projectif engendré par $A$, comme le plus petit sous-espace projectif de $P(E)$ contenant $A$ ; on le notera $Proj(A)$.

Il correspond au sous-espace vectoriel engendré par l'image réciproque ${\pi }^{-1}(A)$ de $A$ par la projection canonique : $Proj(A)=\pi (Vect({\pi }^{-1}(A)))$

Opérations sur les sous-espaces projectifs

Si $P(F)$ et $P(G)$ sont des sous-espaces projectifs de $P(E)$, l'intersection $P(F)\cap P(G)$ est un sous-espace projectif correspondant au sous-espace vectoriel $F\cap G$ de $E$ : $P(F)\cap P(G)=P(F\cap G)$.

D'autre part l'union de deux sous-espaces projectifs n'est pas en général un sous-espace projectif mais on peut considérer le sous-espace projectif engendré par $P(F)$ et $P(G)$, qui correspond au sous-espace vectoriel somme $F+G$ : $Proj(P(F)\cup P(G))=P(F+G)$.

Propriétés d'incidence

Les premières propriétés des espaces projectifs s'expriment en termes d' incidence : les résultats sont beaucoup plus clairs que dans le cas vectoriel.

Pour tout couple de sous-espaces projectifs de dimensions finies on a la relation fondamentale :

$dimP(F)+dimP(G)=dimP(F+G)+dimP(F\cap G)$.

Alors que dans le cas d'un espace affine on a seulement inégalité (voir formule de Grassman).

Application fondamentale de ce résultat : si $P(E)$ est un plan projectif, et si $P(F)$ et $P(G)$ sont des droites projectives, on obtient $2=dimP(F+G)+dimP(F\cap G)$. Or l'espace somme $P(F+G)$ est inclus dans $P(E)$, donc de dimension inférieure ou égale à 2. On obtient $dimP(F\cap G)\ge 0$, c'est-à-dire que deux droites du plan projectif ont toujours au moins un point commun, le point à l'infini.

Autrement dit il n'y a pas de droites parallèles dans un plan projectif, et plus généralement pas de notion de parallélisme en géométrie projective. On voit ici le progrès par rapport à la géométrie affine : la géométrie projective va nous permettre d'éliminer de nombreux cas particuliers dus au parallélisme.