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...ne]] est un domaine des mathématiques étudiant les propriétés des variétés riemanniennes. Cette page liste ou rappelle brièvement les définitions des termes récurre ...iemanniennes, application qui préserve les angles ; de manière équivalente application qui transporte une métrique en une métrique conforme ; ...

...rique permet de définir la [[longueur]] d'un [[Chemin (topologie)|chemin]] entre deux points de la variété, puis les [[géodésique]]s qui répondent à un prob # L'application <math>m\mapsto g_m</math> est une [[Section d'un fibré|section globale]] [[ ...

En [[mathématiques]], les '''grassmanniennes''' sont des [[Variété algébrique|variétés]] dont les points correspondent aux [[Sous-espace vectoriel|sous-espaces ve ...math>v\in E_2</math>. L'application <math>V\to E_1,x\mapsto u</math> est [[Application linéaire#Noyau et image|linéaire et injective]]. Comme ''V ''et <math>E_1</ ...

...richlet]] en [[théorie du potentiel]], recherche de [[géodésique]]s ou d'[[application harmonique|applications harmoniques]] en [[géométrie riemannienne]]. === Energie d'une application et applications harmoniques === ...

* Le premier (1954), portant sur les variétés de [[Classe de régularité|classe]] ''C''¹. Il est peu intuitif m * Le second (1956), portant sur les variétés de classe ''C^k'' où ''k'' ≥ 3. Celui-ci est plus intuitif que le ...

...surface (c'est la généralisation de l'[[application de Gauss]]) à ces deux variétés. Il existe aussi une notion de dérivation ([[dérivée covariante]]) des vect ...ère et seconde formes fondamentales sont introduites dans l'étude des sous-variétés, munies de la métrique induite. On peut généraliser ces notions à toute [[i ...

...nne dans une autre. Les notions de [[géodésique]] ou plus généralement d'[[application harmonique]] sont issues de problèmes de minimisation faisant intervenir la Soit <math>\alpha</math> un angle entre 0 et <math>\frac{\pi}{2}</math>. Considérons une [[loxodromie]] incluse dan ...

...usdorff]] puisqu'elle permet une forme de comparaison à [[isométrie]] près entre espaces qui ne sont plus nécessairement des parties d'un espace ambiant. === Distance entre deux espaces métriques compacts === ...

...athématiques)|orientations]], de leurs [[géométrie riemannienne|structures riemanniennes]], de leurs [[géométrie symplectique|structures symplectiques]], etc. Les f ...donnée d'un espace topologique ''M'' et d'une [[Continuité (mathématiques)|application continue]] [[surjective]] <math>\pi:M\rightarrow X</math>, appelée la '''pr ...

...rés vectoriels, de différentes manières, parfois concurrentes. Plusieurs d'entre eux méritent d'être qualifiés de laplaciens, à partir de leur [[Symbole d'u ...cients et les ordres de dérivation. Mais pour les [[variété différentielle|variétés différentielles]], les coefficients sont modifiés lors des changements de c ...

...de cartes <math>f_i\circ f_j^{-1}</math> soient des fonctions holomorphes entre ouverts de '''C'''. Si ''X'' et ''Y'' sont deux surfaces de Riemann, une application de ''X'' dans ''Y'' est dite '''holomorphe''' lorsque, lue dans les cartes ...

...ométrie globale des géodésiques est bien plus simple que pour les variétés riemanniennes générales. Par ailleurs si la courbure est strictement négative, le [[flot ...des images de figures traditionnelles de [[géométrie euclidienne]] par l'[[application exponentielle]]. Cela permet d'illustrer le sens de la propriété de courbur ...

...icci]] relativement à la [[métrique (mathématiques)|métrique]] (le point d'application ''m'' est souvent omis) ...re composantes directes et inverses de la métrique ainsi que les relations entre les tenseurs de Riemann {{mvar|R{{ind|xyxy}}}} et de Ricci de composantes { ...

...de façon générale tous les objets qui peuvent être composés à droite par l'application de transport. On utilise également le terme anglais '''pullback''' ou sa tr ...gauche. Le résultat se note alors <math>f_\ast T</math>. Dans le cas où l'application de transport est un [[difféomorphisme]], ces deux opérations sont simultané ...

...espace euclidien]], et plus généralement des [[Variété différentielle|sous-variétés]] d'une [[variété riemannienne]]. Il existe aussi des applications au cas d ...er}}.</ref>, est une condition structurelle sur les dérivées secondes de l'application de Gauss. Cette équation fait intervenir la ''courbure extrinsèque'' (ou [[ ...

Dans le cas où la dérivée covariante existe, il n'existe pas de différence entre la dérivée covariante et la [[connexion (mathématiques)|connexion]], à part ...mannienne|variétés riemanniennes]] et [[variété pseudo-riemannienne|pseudo-riemanniennes]], le [[théorème fondamental de la géométrie riemannienne]] montre qu'il ex ...

...rique''' une variété munie d'une [[métrique riemannienne]] pour laquelle l'application de symétrie le long des [[géodésique]]s constitue une [[isométrie]]. ...lement, sont des isométries locales). En effet, ce sont aussi les variétés riemanniennes pour lesquelles le [[tenseur de Riemann]] a une [[dérivée covariante]] null ...

..., il est possible de définir sur certaines [[variété riemannienne|variétés riemanniennes]] la notion de '''structure spinorielle''' (qui se décline en structures Sp ...cine carrée du laplacien, ou les [[invariants de Seiberg-Witten]] pour les variétés orientées de dimension 4. ...

...iplient la courbure par une constante, par supposer <math>K=-1</math>. L'[[application exponentielle]] <math>\exp_p: T_p(S) \longrightarrow S</math> {{Note|texte= Définissant <math>H</math> comme variété riemannienne, on construit une application <math>\varphi = \exp_{p'} \circ\ \psi \circ \exp_p^{-1}</math> par l'interm ...

...fférentielle]], c'est-à-dire adapté à l'étude des [[variété différentielle|variétés différentielles]]. Il s'agit d'une [[homologie et cohomologie|théorie cohom ...pitre|auteur=[[Henri Cartan]]|titre=Les travaux de Georges de Rham sur les variétés différentiables|titre ouvrage=Œuvres - Collected Works|volume=III|lien édit ...